La distribuzione binomiale è una delle distribuzioni di probabilità più fondamentali e ampiamente utilizzate nelle statistiche. Modella il numero di successi in un numero fisso di esperimenti indipendenti, ciascuno con la stessa probabilità di successo.

Caratteristiche e condizioni chiave

Per un esperimento casuale seguire una distribuzione binomiale, deve soddisfare questi criteri:

Numero fisso di prove:L'esperimento consiste in un numero fisso (n) di prove.
Indipendenza:Ogni prova è indipendente dagli altri.
Due risultati:Each trial has exactly two possible outcomes ("success" or "failure").
Probabilità costante:La probabilità di successo (p) rimane la stessa per ogni prova.

Applicazioni della distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale è applicabile in numerosi campi e scenari:

Controllo qualità:Verificare se i prodotti soddisfano le specifiche.
Medicina:Tassi di successo di trattamenti o procedure mediche.
Finanza:Probabilità dei movimenti dei prezzi azionari o dei risultati degli investimenti.
Sport:Analizzando vincite/perdite in una serie di giochi.
Polling:Stimando la proporzione di elettori che favoriscono un candidato.

Proprietà statistica

Mean (Valore previsto)

μ = n × p

Dove n è il numero di prove e p è la probabilità di successo in ogni prova.

Variazione

σ² = n × p × (1-p)

Ciò misura la dispersione o la diffusione della distribuzione.

Deviazione standard

σ = √(n × p × (1-p))

La radice quadrata della variazione dà la deviazione standard.

Skewness

(1-2p)/√(n×p×(1-p)))

La distribuzione è simmetrica quando p=0.5, positivamente skewed quando p<0.5, and negatively skewed when p>0.5.

Tipi di Probabilità Binomiale

Quando si lavora con distribuzioni binomiali, è possibile calcolare diversi tipi di probabilità:

Tipo di prova	Notazione	Designazione
Esatto	P(X = k)	Probabilità dei successi esattamente k
Cumulativo (al massimo)	P(X ≤ k)	Probabilità di k o meno successi
Cumulativo (almeno)	P(X ≥ k)	Probabilità di k o più successi
Ampiezza	P(a ≤ X ≤ b)	Probabilità tra un e b successi (inclusi)

Relazioni con altre distribuzioni

La distribuzione binomiale si collega a diverse altre importanti distribuzioni nelle statistiche:

Normale approssimazione:Per la grande n, la distribuzione binomiale può essere approssimata da una distribuzione normale con μ=np media e varianza σ2=np(1-p).
Bernoulli Distribuzione:Una distribuzione binomiale con n=1 è una distribuzione Bernoulli.
Approssimazione di Poisson:Quando n è grande e p è piccolo, la distribuzione binomiale può essere approssimata da una distribuzione Poisson con parametro λ=np.

Quando usare il calcolatore binomiale

Utilizzare questo calcolatore di distribuzione binomiale quando è necessario calcolare le probabilità per situazioni che coinvolgono:

Un numero fisso di prove
Eventi indipendenti (il risultato di un processo non influisce sugli altri)
Probabilità costante di successo in tutte le prove
Solo due possibili risultati per prova (successo/fallimento)

Concezione

Formula di distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità che descrive il numero di successi in un numero fisso di prove indipendenti, ognuna con la stessa probabilità di successo.

Formula:

P(X = k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Dove:

P(X = k) è la probabilità di successi k
C(n,k) è il numero di combinazioni
p è la probabilità di successo
n è il numero di prove
k è il numero di successi

Passi

Come Calcolare la Probabilità Binomiale

Per calcolare la probabilità binomiale, seguire questi passaggi:

1
Determinare il numero di prove (n)
2
Identificare il numero di successi (k)
3
Specificare la probabilità di successo (p)
4
Applicare la formula di probabilità binomiale

Guida

Interpretazione Probabilità Binomiale

Capire cosa ti dice la probabilità binomiale:

1

Alta probabilità:
Indica che probabilmente si verifica il numero osservato di successi.
2

Bassa probabilità:
Indica che il numero osservato di successi è improbabile.
3

Valore previsto:
Il numero atteso di successi è n * p.

Esempi

Esempi pratici

Esempio 1Tos

Qual è la probabilità di ottenere esattamente 3 teste in 5 tosse di moneta?

n = 5, k = 3, p = 0.5

Probabilità = 0.3125

Ciò significa che c'è una probabilità del 31.25% di ottenere esattamente 3 teste.

Esempio 2Domande di prova

Qual è la probabilità di ottenere esattamente 4 risposte corrette in un test di scelta multipla di 10 domande (5 opzioni per domanda)?

n = 10, k = 4, p = 0.2

Probabilità = 0.0881

Ciò significa che c'è una probabilità dell'8,81% di ottenere esattamente 4 risposte corrette.

Esempio 3Controllo qualità

Qual è la probabilità di trovare esattamente 2 elementi difettosi in un campione di 20 elementi, se il tasso di difetto è 5%?

n = 20, k = 2, p = 0.05

Probabilità = 0.1887

Ciò significa che c'è una probabilità del 18.87% di trovare esattamente 2 elementi difettosi.

Strumenti

Calcolatori statistici

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