Calcolatore della funzione errore
Calcola la funzione di errore (erf) e la funzione di errore complementare (erfc) per qualsiasi numero reale.
Calcola la funzione errore
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Guida completa alle funzioni di errore
La funzione di errore (erf) è una funzione speciale matematica fondamentale con implicazioni profonde su più discipline. Introdotto nel XIX secolo da matematici che studiano la teoria delle probabilità, da allora è diventato uno strumento essenziale in statistica, fisica, ingegneria e matematica applicata.
Definizione matematica e proprietà
La funzione di errore è formalmente definita come:
Questo componente non-elementare rappresenta la probabilità che una variabile casuale con distribuzione normale di media 0 e variazione 1/2 cada nell'intervallo [-x, x]. La funzione ha diverse proprietà notevoli:
- È una funzione strana: erf(-x) = -erf(x)
- Ha limiti: erf(0) = 0 erf(∞) = 1
- Il suo derivato è: (d/dx)erf(x) = (2/√π)e^(-x2)
- La sua espansione della serie Taylor è: erf(x) = (2/√π) Σ(n=0)^∞ ((-1)^n·x^(2n+1))/((2n+1)·n!)
Rapporto con altre funzioni
La funzione di errore è strettamente correlata a diverse importanti funzioni matematiche:
Funzione di errore complementare
erfc(x) = 1 - erf(x)
CDF di distribuzione normale
Φ(x) = (1/2)(1 + erf(x/√2))
Q-funzione
Q(x) = (1/2)erfc(x/√2)
Funzione di errore immaginario
erfi(x) = -i·erf(ix)
Computazione numerica
Mentre la funzione di errore non ha un'espressione di forma chiusa in termini di funzioni elementari, esistono diverse approssimazioni numeriche accurate:
- Abramowitz e Stegun approssimazione: erf(x) ≈ 1 - (a1t + a2t2 + a3t3)e^(-x2) dove t = 1/(1+px)
- Espansione continua della frazione per erfc(x)
- Serie Taylor per piccoli valori di x
- Ampliamento asintotico per grandi valori di x
Applicazioni in Scienze e Ingegneria
La funzione di errore appare in numerosi campi:
Probabilità Teoria
Utilizzato nel calcolo delle probabilità per le variabili casuali e gli intervalli di fiducia normalmente distribuiti.
Statistiche
Appare in test di ipotesi, quantificazione dell'incertezza e analisi di regressione.
Fisica
Utilizzato in processi di diffusione, termodinamica e meccanica quantistica.
Elaborazione dei segnali
Importante nelle comunicazioni digitali, nel rilevamento degli errori e nei sistemi di correzione.
Trasferimento di calore
Le soluzioni alle equazioni di calore e diffusione spesso comportano la funzione di errore.
Matematica finanziaria
Utilizzato nel modello Black-Scholes per la valutazione dei prezzi delle opzioni e dei rischi.
Sviluppo storico
The error function was first introduced by J.W.L. Glaisher in 1871, though the study of related integrals dates back to earlier mathematicians. The name "error function" comes from its connection to the theory of measurement errors in astronomy and geodesy, where normal distributions were first applied to model observational errors.
Argomenti avanzati
Analisi complessa
La funzione di errore può essere estesa al piano complesso, creando la funzione di errore complessa. La funzione è intera (olomorfica ovunque), senza singolarità tranne all'infinito.
Integratori Iterated
Le integrazioni ripetute della funzione di errore complementare producono gli integrali iterati ierfc(x), i2erfc(x), ecc., che hanno applicazioni nei problemi di diffusione dipendente dal tempo.
Funzione di Faddeeva
La complessa funzione di errore è tipicamente discussa nella sua forma scalata come la funzione Faddeeva: w(z) = e^(-z2)erfc(-iz), importante nella fisica computazionale e nella spettroscopia.
Lo sapevi?
L'integrale gaussiano ∫(−∞)^∞ e^(-x2) dx = √π è strettamente correlato alla funzione di errore. Mentre la funzione di errore non ha una forma elementare chiusa, questo componente definito ha una soluzione di forma chiusa elegante che può essere dimostrato attraverso un cambiamento intelligente alle coordinate polari.
Che cosa è Funzione di errore?
La funzione di errore (erf) è una funzione speciale che appare in probabilità, statistiche e equazioni differenziali parziali. È definito come l'integrale della funzione gaussiana ed è legato alla distribuzione normale.
- Integrale della funzione gaussiana
- Correlato alla distribuzione normale
- Utilizzato nella teoria della probabilità
- Importante nelle statistiche
Proprietà
Simmetria
erf(-x) = -erf(x)
Limiti
erf(0) = 0, erf(∞) = 1
Complementare
erfc(x) = 1 - erf(x)
Ampiezza
-1 ≤ erf(x) ≤ 1
Formula funzione errore
La funzione di errore è definita dal seguente integrale:
Dove:
- x è il valore di input
- π è pi (circa 3.14159)
- e è il numero di Euler (circa 2.71828)
Applicazioni
ProbabilitàDistribuzione normale
Utilizzato per calcolare le probabilità nella distribuzione normale e per trovare intervalli di fiducia.
FisicaTrasferimento di calore
Utilizzato nella risoluzione dei problemi di conduzione del calore e delle equazioni di diffusione.
IngegneriaElaborazione dei segnali
Utilizzato nella elaborazione digitale del segnale e nella teoria della comunicazione.