Geometrische gemiddelde rekenmachine
Bereken het geometrische gemiddelde van een reeks positieve getallen.
Voer uw nummers in
Inhoudsopgave
Geometrisch begrijpen Gemiddelde
Het geometrische gemiddelde is een soort gemiddelde dat de centrale tendens van een reeks getallen vertegenwoordigt door gebruik te maken van hun product in plaats van hun som. Het is vooral nuttig voor datasets met waarden die veranderen door vermenigvuldiging (zoals groeipercentages) in plaats van door toevoeging.
Wat is Geometric Mean?
Het geometrische gemiddelde wordt gedefinieerd als de nde wortel van het product van n-nummers. In tegenstelling tot het rekenkundig gemiddelde (dat waarden toevoegt en verdeelt door de telling), vermenigvuldigt het geometrische gemiddelde alle waarden en neemt dan de juiste wortel.
Sleuteleigenschappen van geometrische gemiddelde:
- Het is altijd kleiner dan of gelijk aan het rekenkundig gemiddelde (gelijkheid vindt alleen plaats wanneer alle waarden identiek zijn)
- Het is alleen gedefinieerd voor positieve getallen
- Het wordt minder beïnvloed door extreme waarden dan het rekenkundig gemiddelde
- Als elke waarde in een gegevensverzameling wordt vervangen door het geometrische gemiddelde, blijft het product ongewijzigd
Verschillen tussen rekenkundig en geometrisch gemiddelde
| Aspect | Rekenkundig gemiddelde | Geometrische gemiddelde |
|---|---|---|
| Formule | (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n | (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) |
| Werking | Toevoeging vervolgens afdeling | Vermenigvuldigen dan wortel |
| Beste voor | Lineaire gegevens, absolute veranderingen | Exponentiële gegevens, groeipercentages |
| Voorbeeld | Gemiddelde testscores | Gemiddeld rendement van investeringen |
Toepassingen van geometrisch gemiddelde
Het geometrische gemiddelde wordt veel gebruikt in verschillende velden:
- Financiën:Berekening van het gemiddelde investeringsrendement en samengestelde jaarlijkse groeipercentages (CAGR)
- Biologie:Analyse van bevolkingsgroei, bacteriële groei en biologische processen
- Geometrie:Het vinden van de zijlengte van een vierkant met hetzelfde gebied als een rechthoek
- Statistieken:Analyseren van datasets met exponentieel gedrag of proportionele relaties
- Economie:Meting van gemiddelde economische groeicijfers en prijsindices
Geometrische gemiddelde in geometrie
In de meetkunde heeft het geometrische gemiddelde een bijzondere betekenis. Voor een rechthoekige driehoek, als een hoogte wordt getrokken uit de juiste hoek naar de hypotenuse, is de lengte van de hoogte het geometrische gemiddelde van de segmenten van de hypotenuse. Dit staat bekend als de geometrische gemiddelde stelling.
Relatie met andere middelen:
Voor elke reeks positieve reële getallen geldt de volgende ongelijkheid:
Harmonische gemiddelde ≤ geometrisch gemiddelde ≤ rekenkundig gemiddelde
Deze relatie staat bekend als de AM-GM-HM ongelijkheid, en gelijkheid vindt alleen plaats wanneer alle waarden in de set identiek zijn.
Wiskundig bewijs van AM-GM-ongelijkheid
De AM-GM ongelijkheid stelt dat het rekenkundig gemiddelde van een reeks niet-negatieve reële getallen groter is dan of gelijk is aan het geometrische gemiddelde van die getallen. Hier is een bewijs voor twee getallen:
Voor elke twee positieve getallen a en b:
(a - b)² ≥ 0
a² - 2ab + b² ≥ 0
a² + 2ab + b² ≥ 4ab
(a + b)² ≥ 4ab
a + b ≥ 2√ab
(a + b)/2 ≥ √ab
Dit bewijst dat het rekenkundig gemiddelde (a + b)/2 groter is dan of gelijk is aan het geometrische gemiddelde √ab, met gelijkheid als en alleen als a = b.
Alternatieve berekening Methoden
Voor grote datasets of getallen met veel cijfers kan het berekenen van het geometrische gemiddelde direct leiden tot rekenuitdagingen als gevolg van zeer grote producten. Een alternatieve benadering maakt gebruik van logaritmen:
- Neem de logaritme van elk getal in de dataset
- Bereken het rekenkundig gemiddelde van deze logaritmen
- Neem het antilogaritme (exponentiatie) van dit gemiddelde
GM = exp((log(x1) + log(x2) + ... + log(xn)/n)
Gewogen geometrisch Gemiddelde
Vergelijkbaar met het gewogen rekenkundig gemiddelde, kunnen we een gewogen geometrisch gemiddelde berekenen wanneer verschillende waarden verschillende niveaus van belang hebben:
Gewogen GM = (x1^w1 × x2^w2 × ... × xn^wn)^(1/(w1+w2+...+wn))
Waar w1, w2, ..., w zijn de gewichten toegewezen aan elke waarde.
Geavanceerde toepassingen
Financiën en economie
Het geometrische gemiddelde is essentieel voor de berekening van het samengestelde jaarlijkse groeipercentage (CAGR) van investeringen:
CAGR = (eindwaarde / initiële waarde)^(1/n) - 1
Waar n het aantal jaren is.
Bijvoorbeeld, als een investering groeit van $1.000 tot $1,610 over 5 jaar, de CAGR is:
CAGR = (1610/1000)^(1/5) - 1 = 1,1^(1/5) - 1 = 0,10 of 10%
In beeldverwerking
De geometrische gemiddelde filter wordt gebruikt in digitale beeldverwerking om bepaalde soorten lawaai te verminderen terwijl het behoud van rand kenmerken, in tegenstelling tot rekenkundig gemiddelde filters die de neiging om vervagen randen.
In Akoestiek en Audiotechniek
Het geometrische gemiddelde wordt gebruikt om de centrumfrequentie van audiofrequentiebanden te berekenen, met name in equalizers en audioanalysetools.
Middenfrequentie = √(f1 × f2)
Waar f1 en f2 de onderste en bovenste frequentiegrenzen zijn.
Geometrische gemiddelde in gegevenswetenschap
In datawetenschap en machine learning is het geometrische gemiddelde waardevol voor:
- Genormaliseerde nauwkeurigheidsstatistieken:Bij het combineren van meerdere classificatiemetrics
- Samenvoegmethoden:Het combineren van voorspellingen uit meerdere modellen
- Functie schaalvergroting:Normaliseren functies met multiplicatieve relaties
- Anomaliedetectie:Het identificeren van uitschieters in multiplicatieve gegevens
Wanneer Geometrische Gemiddelde Over Rekenkundig Gemiddelde kiezen:
- Bij de behandeling van percentages, ratio's of tarieven
- Bij het analyseren van groei over meerdere perioden
- Wanneer waarden multiplicatieve relaties hebben in plaats van additieve
- Wanneer extreme waarden een rekenkundig gemiddelde kunnen scheeftrekken
- Bij het berekenen van gemiddelde factoren of multiplicatoren
Geometrische gemiddelde formule
Het geometrische gemiddelde wordt berekend door de nde wortel van het product van n-nummers te nemen. Het is vooral nuttig voor het berekenen van gemiddelde veranderings- of groeipercentages.
Hoe geometrische gemiddelde berekenen
Om het geometrische gemiddelde te berekenen, volg deze stappen:
-
1Vermenigvuldig alle getallen samen
-
2Tel hoeveel nummers er in je dataset zitten
-
3Neem de nde wortel van het product
Bijvoorbeeld om het geometrische gemiddelde van 2, 4, 8 te vinden:
Geometrische gemiddelde - Praktische voorbeelden
Voorbeeld 1Investeringsrendementen
Een investering groeit met 10%, 20%, en 15% langer dan drie jaar. Wat is het gemiddelde jaarlijkse groeipercentage?
Geometrische gemiddelde = (1.10 × 1,20 × 1,15)^(1/3) = 1.1487 = 14,87%
Voorbeeld 2Bevolkingsgroei
Een bevolking groeit van 1000 naar 1500 over 5 jaar. Wat is het gemiddelde jaarlijkse groeipercentage?
Groeipercentage = (1500/1000)^(1/5) = 1.0845 = 8,45%
Voorbeeld 3Rechthoekige afmetingen
Een rechthoek heeft zijden van 4 en 9. Wat is de zijlengte van een vierkant met hetzelfde gebied?
Geometrische gemiddelde = √(4 × 9) = √36 = 6