Calcolatore tangente
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Guida completa alle funzioni tangenti
Introduzione al tangente
La funzione tangente è un concetto fondamentale nella trigonometria con ampie applicazioni in matematica, fisica, ingegneria e altri campi scientifici. Storicamente, è emerso accanto ad altre funzioni trigonometriche come matematici ha lavorato per risolvere i problemi nell'astronomia, nella navigazione e nell'indagine sulla terra.
Definizione matematica
Il tangente di un angolo θ, scritto come tan(θ), può essere definito in diversi modi equivalenti:
- Definizione del triangolo destro:Il rapporto della lunghezza del lato opposto alla lunghezza del lato adiacente in un triangolo destro.
- Definizione del cerchio dell'unità:Per un punto (x,y) sul cerchio dell'unità corrispondente all'angolo θ, tan(θ) = y/x (fornito x ∞ 0).
- Relazione a Sine e Cosine:tan(θ) = peccato(θ)/cos(θ) (fornito cos(θ) ∞ 0).
Proprietà chiave della funzione tangente
Dominio e intervallo
- dominio:Tutti i numeri reali tranne x = (2n+1)π/2, dove n è un intero
- Gamma:Tutti i numeri reali (-∞, ∞)
- Periodo:π radians (180°)
Funzione comportamento
- Funzione Odd:tan(-θ) = -tan(θ)
- Asintoti verticali:A x = (2n+1)π/2 (molti di π/2)
- Periodicità:tan(θ + π) = tan(θ)
Grafico tangente e comportamento
Il grafico di y = tan(x) ha diverse caratteristiche distintive:
- Gli asintoti verticali si verificano a x = π/2 + nπ, dove n è un intero
- La funzione attraversa l'asse x a x = nπ, dove n è un intero
- Tra due asintoti consecutivi, la funzione tangente aumenta continuamente da -∞ a +∞
- La curva tangente ripete ogni radiano π (180°)
Identità tangenti importanti
tan(θ) = peccato(θ)/cos(θ)
1 + tan²(θ) = sec²(θ)
tan(A + B) = [tan(A) + tan(B)]/[1 - tan(A)tan(B)]
tan(A - B) = [tan(A) - tan(B)]/[1 + tan(A)tan(B)]
tan(2θ) = 2tan(θ)/[1 - tan2(θ)]
Valori tangenti effettivi comuni
| Angolo (gradi) | Angolo (radi) | Valore tangente | Forma esatta |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | 0.5774 | 1/√3 = √3/3 |
| 45° | π/4 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | 1.7321 | √3 |
| 90° | π/2 | Non definita | Non definita |
Applicazioni in vari campi
Matematica e Calcolo
- Geometria analitica per trovare piste di linee
- formule di integrazione e differenziazione
- Serie espansioni e approssimazioni
- Rappresentanze di numeri complessi
Fisica e Ingegneria
- Movimento d'onda e oscillazioni
- Ottica e rifrazione della luce
- Circuiti elettrici (relazioni di fase)
- Suono e acustica
Navigazione e Astronomia
- Determinazione di altezze e distanze
- Sistemi GPS e posizionamento
- Navigazione celtica
- Mapping e sondaggio
Architettura e Design
- Calcolo di pendici e angoli del tetto
- Calcoli in pendenza scala e rampa
- Proiezioni ombra e angoli del sole
- Analisi dei carichi strutturali
Risolvere i problemi con Tangent
La funzione tangente è particolarmente utile in questi scenari comuni:
- Trovare lati sconosciuti:Quando si conosce un angolo e un lato di un triangolo destro, tangente può aiutare a determinare altri lati.
- Trovare angoli sconosciuti:Quando si conoscono due lati di un triangolo destro, il tangente inverso (tan−1 o arctan) può trovare un angolo.
- Calcolo delle piste:Il tangente dell'angolo una linea fa con la positiva x-asse uguale al pendio di quella linea.
- Altezza di misura indirettamente:Utilizzando l'angolo di elevazione e una distanza nota per calcolare l'altezza delle strutture alte.
Una scala si appoggia contro una parete ad un angolo di 70° a terra. Se il piede della scala è a 2 metri dalla parete, quanto alto il muro raggiunge la scala?
Soluzione:
Uso tangente: altezza = 2 × abbronzatura (70°) = 2 × 2.7475 = 5.495 metri
Cos'è Tangent?
La funzione tangente è una delle funzioni trigonometriche primarie. In un triangolo destro, il tangente di un angolo è il rapporto della lunghezza del lato opposto alla lunghezza del lato adiacente.
Formula tangente
La funzione tangente può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
Tangente comune Valori
Angoli speciali
- abbronzatura (0°) = 0
- abbronzatura (30°) = 0,5774
- abbronzatura (45°) = 1
- abbronzatura (60°) = 1.7321
- abbronzatura (90°) = non definita
Proprietà
- Gamma: (-∞, ∞)
- Periodo: 180° o π radians
- Funzione Odd: tan(-θ) = -tan(θ)
- tan(θ + 180°) = abbronzatura(θ)
Applicazioni di Tangent
FisicaMoto d'onda
Le funzioni tangenti sono utilizzate per modellare il moto d'onda, comprese le onde sonore, le onde leggere e le onde d'acqua.
IngegneriaElaborazione dei segnali
Le funzioni tangenti sono fondamentali nell'elaborazione del segnale, nell'ingegneria elettrica e nei sistemi di comunicazione.
NavigazioneGPS e posizione
Le funzioni tangenti sono utilizzate nei sistemi GPS e nella navigazione per calcolare le distanze e le posizioni.