Calcolatore di summazione
Calcola la somma di una sequenza utilizzando la notazione sigma.
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Tabella dei contenuti
Comprendere la Notazione di Summation
Introduzione alla Notazione di Summation
La notazione di summazione, rappresentata dalla lettera greca sigma (Σ), è una potente cortina matematica utilizzata per esprimere l'aggiunta di una sequenza di numeri o termini. La notazione condensa elegantemente ciò che altrimenti sarebbe espressioni lunghe, rendendo i calcoli complessi più gestibili e concisi.
Componenti della Notazione di Summation
- Il simbolo sigma (Σ)- Rappresenta il funzionamento della somma
- Variazione indice (i)- No. La variabile che cambia con ogni termine
- Inferiore (m)- No. Il valore di partenza dell'indice
- Legato superiore (n)- No. Il valore finale dell'indice
- Funzione o espressione f(i)- No. La formula applicata ad ogni valore dell'indice
Proprietà chiave della summazione
La comprensione di queste proprietà aiuta a semplificare i calcoli e manipolare le somme:
Proprietà costante
Σ(i=m a n) c = c + c + ... + c = c = c(n-m+1)
Dove c è una costante.
Proprietà di distribuzione
Σ(i=m to n) [f(i) + g(i)] = Σf(i) + Σg(i)
Somma di funzioni uguale somma delle loro somme separate.
Multiplica Scalar
Σ(i=m to n.f(i) = c·Σ(i=m to n) f(i)
Le costanti possono essere fattorizzate dalla somma.
Indice di spostamento
Σ(i=m to n) f(i) = Σ(j=m+k to n+k) f(j-k)
La stessa somma con indici spostati.
Formule di summazione comuni
Queste formule standard risparmiare tempo quando si calcolano tipi specifici di somme:
Sum of First n Numeri naturali
Σ(i=1 a n) i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
Sum of Squares
Σ(i=1 to n) i2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6
Sum of Cubes
Σ(i=1 to n) i3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = [n(n+1)/2]2
Tipi di serie speciali
Diversi tipi di sequenze portano a formule di sommazione diverse:
Serie Arithmetic
Per una sequenza aritmetica con il primo termine una differenza comune d:
Σ(i=1 to n) [a + (i-1)d] = n/2 * [2a + (n-1)d] = n/2 * (primo termine + ultimo termine)
Serie geometrica
Per una sequenza geometrica con il primo termine a e il rapporto comune r:
Σ(i=1 to n) ar^(i-1) = a(1-r^n)/(1-r) per r
Quando< 1, the sum of an infinite geometric series is:
Σ(i=1 a ∞) ar^(i-1) = a/(1-r)
Tecniche di summazione avanzate
Quando si lavora con sommazioni complesse, questi metodi possono essere utili:
Serie Telescoping
Una serie di telescoping è una in cui i termini intermedi annullano quando si espande, lasciando solo pochi termini. Per esempio:
Σ(i=1 a n) [1/i - 1/(i+1)] = 1 - 1/(n+1)
Doppio Summation
Quando si lavora con più indici (come nelle matrici):
Σ(i=1 a m) Σ(j=1 a n) a_ij
Applicazioni della summazione
La notazione di summazione ha applicazioni molto diffuse in matematica e in altre discipline:
- Statistiche- Calcolo di mezzi, variazioni e deviazioni standard
- Calcolo- Riemann riassume per approssimare gli integrali
- Finanza- Compound interessi e calcoli del valore attuale
- Fisica- Commettere forze, energie o altre quantità fisiche
- Scienza informatica- Analisi dell'algoritmo e complessità computazionale
Formula di summazione
La sommazione (notazione di gravità) rappresenta la somma di una sequenza di termini. È denotato dalla lettera greca sigma (Σ).
Come Calcolare la Summazione
Per calcolare una somma, seguire questi passaggi:
-
1Inserisci l'espressione usando 'n' come variabile
-
2Specificare il valore di inizio (limite inferiore)
-
3Specificare il valore finale (fino al limite)
-
4Calcola la somma di tutti i termini dall'inizio alla fine
Per esempio, per trovare la somma di n2 da 1 a 5:
Summation - Esempi pratici
Esempio 1Somma di numeri naturali
Calcola la somma dei numeri naturali da 1 a 10.
Σ(n=1 a 10) n = 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55
Esempio 2Sum of Squares
Calcola la somma di quadrati da 1 a 5.
Σ(n=1 a 5) n2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
Esempio 3Sequenza aritmetica
Calcola la somma della sequenza aritmetica 2n + 1 da 1 a 5.
Σ(n=1 a 5) (2n + 1) = (2*1 + 1) + (2*2 + 1) + ... + (2*5 + 1) = 35