Calcolatrice geometrica
Calcola il mezzo geometrico di un insieme di numeri positivi.
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Comprensione Geometrica Mean
La media geometrica è un tipo di media che rappresenta la tendenza centrale di un insieme di numeri utilizzando il loro prodotto piuttosto che la loro somma. È particolarmente utile per i set di dati con valori che cambiano per moltiplicazione (come i tassi di crescita) piuttosto che per aggiunta.
Che cos'è Geometric Mean?
Il mezzo geometrico è definito come la nth radice del prodotto di n numeri. A differenza del mezzo aritmetico (che aggiunge valori e divide per il conte), il mezzo geometrico moltiplica tutti i valori insieme e poi prende la radice appropriata.
Proprietà chiave del massetto geometrico:
- È sempre meno o uguale alla media aritmetica (l'uguaglianza si verifica solo quando tutti i valori sono identici)
- È definito solo per numeri positivi
- È meno influenzato dai valori estremi della media aritmetica
- Se ogni valore in un set di dati viene sostituito dal mezzo geometrico, il loro prodotto rimane invariato
Differenze tra aritmetica e geometrica
| Aspetti | Mano aritmetico | Mensola geometrica |
|---|---|---|
| Formula | (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n | (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) |
| Operazione | Addizione poi divisione | Moltiplicazione poi radice |
| Il meglio per | Dati lineari, variazioni assolute | Dati esponenziali, tassi di crescita |
| Esempio | Punteggio medio dei test | Restrizioni di investimento medie |
Applicazioni del massone geometrico
Il mezzo geometrico è ampiamente usato in vari campi:
- Finanza:Calcolo dei rendimenti di investimento medi e dei tassi di crescita annuali composti (CAGR)
- Biologia:Analisi della crescita della popolazione, dei tassi di crescita batterica e dei processi biologici
- Geometria:Trovare la lunghezza laterale di un quadrato con la stessa area di un rettangolo
- Statistiche:Analisi dei set di dati con comportamenti esponenziali o relazioni proporzionali
- Economia:Misurare i tassi medi di crescita economica e gli indici dei prezzi
Mensole Geometrico in Geometria
Nella geometria, il mezzo geometrico ha un significato speciale. Per un triangolo destro, se un'altitudine è disegnata dall'angolo destro all'ipotenusa, la lunghezza dell'altitudine è la media geometrica dei segmenti dell'ipotenusa. Questo è conosciuto come il teorema medio geometrico.
Rapporto con altri mezzi:
Per qualsiasi serie di numeri reali positivi, la seguente disuguaglianza detiene:
Carbone armonico ≤ Mean geometrico ≤ Mean aritmetico
Questa relazione è conosciuta come la disuguaglianza AM-GM-HM, e l'uguaglianza si verifica solo quando tutti i valori nel set sono identici.
Prova matematica della disuguaglianza AM-GM
La disuguaglianza AM-GM afferma che la media aritmetica di un insieme di numeri reali non negativi è maggiore o uguale alla media geometrica di quei numeri. Ecco una prova per due numeri:
Per i due numeri positivi a e b:
(a - b)² ≥ 0
a² - 2ab + b² ≥ 0
a² + 2ab + b² ≥ 4ab
(a + b)² ≥ 4ab
a + b ≥ 2√ab
(a + b)/2 ≥ √ab
Ciò dimostra che il mezzo aritmetico (a + b)/2 è maggiore o uguale al mezzo geometrico √ab, con uguaglianza se e solo se a = b.
Calcolo alternativo Metodi
Per grandi set di dati o numeri con molte cifre, il calcolo del mezzo geometrico direttamente può portare a sfide computazionali a causa di prodotti molto grandi. Un approccio alternativo utilizza logaritmi:
- Prendere il logaritmo di ogni numero nel dataset
- Calcola il mezzo aritmetico di questi logaritmi
- Prendere l'antilogaritmo (esponentiazione) di questo mezzo
GM = exp(log(x1) + log(x2) + ... + log(xn))/n)
Geometrica ponderata Mean
Simile alla media aritmetica ponderata, possiamo calcolare un mezzo geometrico ponderato quando i valori differenti hanno livelli di importanza diversi:
Peso GM = (x1^w1 ×2^w2 × ... × xn^wn)^(1/(w1+w2+...+wn)
Dove w1, w2, ..., wn sono i pesi assegnati a ogni valore.
Applicazioni avanzate
In finanza ed economia
Il mezzo geometrico è essenziale per il calcolo del tasso di crescita annuale Compound (CAGR) degli investimenti:
CAGR = (Valore finale / Valore iniziale)^(1/n) - 1
Dove n è il numero di anni.
Ad esempio, se un investimento cresce da $1,000 a $1,610 su 5 anni, il CAGR è:
CAGR = (1610/1000)^(1/5) - 1 = 1.1^(1/5) - 1 = 0,10 o 10%
In elaborazione delle immagini
Il filtro medio geometrico viene utilizzato nella lavorazione digitale dell'immagine per ridurre alcuni tipi di rumore preservando le caratteristiche dei bordi, a differenza dei filtri medi aritmetici che tendono a sfocare i bordi.
In Acustica e Ingegneria Audio
Il mezzo geometrico viene utilizzato per calcolare la frequenza centrale delle bande di frequenza audio, in particolare negli equalizzatori e negli strumenti di analisi audio.
Frequenza centrale = √ (f1 × f2)
Dove f1 e f2 sono i limiti di frequenza inferiori e superiori.
Mean geometrico nella scienza dei dati
Nella scienza dei dati e nell'apprendimento automatico, il mezzo geometrico è prezioso per:
- metriche di precisione normalizzate:Quando si combinano più metriche di classificazione
- Metodi di ensemble:Combinare le previsioni da più modelli
- Caratteristica scaling:Normalizzazione delle caratteristiche con rapporti multiplicativi
- Rilevamento dell'anomalia:Identificare gli outlier in dati multiplicativi
Quando scegliere la magra geometrica sopra il mento aritmetico:
- Quando si tratta di percentuali, rapporti o tassi
- Quando si analizza la crescita in più periodi
- Quando i valori hanno relazioni moltiplicative piuttosto che additive
- Quando i valori estremi potrebbero schizzare un mezzo aritmetico
- Quando si calcolano fattori medi o moltiplicatori
Formula medica geometrica
Il mezzo geometrico è calcolato prendendo la nth radice del prodotto di n numeri. È particolarmente utile per calcolare i tassi medi di cambiamento o di crescita.
Come Calcolare il Mano Geometrico
Per calcolare il mezzo geometrico, seguire questi passaggi:
-
1Moltiplicare tutti i numeri insieme
-
2Conta quanti numeri sono nel tuo dataset
-
3Prendere la nth radice del prodotto
Per esempio, per trovare il mezzo geometrico di 2, 4, 8:
Mean geometrico - Esempi pratici
Esempio 1Resi degli investimenti
Un investimento cresce del 10%, del 20% e del 15% in tre anni. Qual è il tasso di crescita medio annuo?
Geometric Mean = (1.10 × 1.20 × 1.15)^(1/3) = 1.1487 = 14.87%
Esempio 2Crescita della popolazione
Una popolazione cresce da 1000 a 1500 su 5 anni. Qual è il tasso di crescita medio annuo?
Tasso di crescita = (1500/1000)^(1/5) = 1.0845 = 8.45%
Esempio 3Dimensioni rettangolo
Un rettangolo ha lati di 4 e 9. Qual è la lunghezza laterale di un quadrato con la stessa area?
Mean geometrico = √ (4 × 9) = √36 = 6