Kalkulator kwadratowy
Obliczyć pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby nieujemnej.
Wpisz swój numer
Spis treści
Historia i znaczenie placu Korzenie
Kwadratowe korzenie były fundamentalną koncepcją matematyki od tysięcy lat, sięgającą starożytnych cywilizacji, które musiały rozwiązać praktyczne problemy w budownictwie, astronomii i handlu.
Rozwój historyczny
Najwcześniejsze udokumentowane wykorzystanie pierwiastków kwadratowych pochodzi od Babilończyków (około 1800- 1600 BCE), którzy opracowali niezwykle dokładne metody zbliżania. Starożytni Egipcjanie również pracowali z pierwiastkami kwadratowymi przy rozwiązywaniu problemów związanych z budową piramid i innych struktur.
Jeden z najistotniejszych wczesnych wydarzeń pochodził od starożytnych Greków. Szkoła Pitagorasa odkryła, że pierwiastek kwadratowy z 2 nie może być wyrażony jako prosty ułamek, prowadzący do rewolucyjnej koncepcji irracjonalnych liczb. To odkrycie zasadniczo zmieniło matematykę, ujawniając, że nie wszystkie długości mogą być mierzone za pomocą racjonalnych liczb.
Obliczanie metod poprzez historię
W całej historii matematycy opracowali różne metody obliczania pierwiastków kwadratowych:
- WMetoda babilońska(lub metoda Hero) wykorzystał kolejne przybliżenia, aby uzyskać coraz dokładniejsze wyniki.
- Indyjscy matematycy lubiąAryabhata(476- 550 CE) opracowało zaawansowane algorytmy do obliczania pierwiastków kwadratowych.
- W średniowiecznej Europie matematycy często stosowalimetoda digit- by- digicPodobny do długiego podziału, nadal uczy się w szkołach.
- Nowoczesne metody obliczenioweNewton- Raphson iteracjeoraz inne techniki numeryczne.
1. Babiloński Metoda:
Znaleźć.. S:
1. Dodać początkowe odgadnięcie x
2. Obliczyć x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
3. Powtarzam: xn+1 = (xn + S/xn)/2
4. Kontynuuj aż do pożądanej dokładności
2. Pierwsza faktoryzacja Metoda:
1. Liczba ekspresowa jako iloczyn czynników pierwszych
2. Grupa identycznych liczb pierwszych w parach
3. Weź jeden czynnik z każdej pary na zewnątrz pierwiastek kwadratowy
Przykład: Ö 72 = Â( 2 ³ × 3 ²) = 2 ± · ³ × 3 ± = 6
3. Rejon długi Metoda:
1. Cyfry grupowe w parach od punktu dziesiętnego
2. Znajdź największą cyfrę, której kwadrat ≤ pierwsza grupa
3. Odjąć i przynieść w dół następnej pary
4. Użyj specjalnego algorytmu długiego podziału
5. Powtórz dla żądanej precyzji
Znaczenie w matematyce i nauce
Korzenie kwadratowe są niezbędne w wielu dziedzinach:
- Geometria: Twierdzenie Pitagorasa bezpośrednio obejmuje pierwiastki kwadratowe przy obliczaniu długości przekątnej.
- Fizyka: Formaty do propagacji fal, obliczeń energii i względności często używają pierwiastków kwadratowych.
- Inżynieria: Obliczenia strukturalne i analiza obwodów elektrycznych często wymagają operacji pierwiastka kwadratowego.
- Statystyki: Odchylenie standardowe, podstawowy środek statystyczny, oblicza się przy użyciu pierwiastków kwadratowych.
- Grafika komputerowa: Obliczenia odległości i normalizacja operacji obejmują pierwiastki kwadratowe.
Idealne kwadraty i dalej
Specjalna kategoria liczb, zwana kwadratami doskonałymi (1, 4, 9, 16, 25 itd.), ma dokładne korzenie kwadratowe. Jednak większość liczb ma irracjonalne pierwiastki kwadratowe, które nie mogą być wyrażone jako proste ułamki, prowadzące do wyrażeń dziesiętnych, które nigdy nie kończą się lub powtarzają.
Badania nad pierwiastkami kwadratowymi znacznie przyczyniły się do rozwoju teorii liczb i naszego zrozumienia rzeczywistych i złożonych systemów liczbowych. Pozostają one istotnym narzędziem matematycznym we współczesnym świecie, od podstawowej geometrii po zaawansowane badania naukowe.
Ciekawe fakty o placu Korzenie
Plac Korzeń Spiral
Jeśli wykreślasz punkty na odległościach od miejsca pochodzenia wzdłuż spirali, tworzysz fascynujący wzór matematyczny zwany spiralą Theodorusa lub spiralą pierwiastka kwadratowego.
Irracjonalny przełom
Odkrycie, że Ö 2 jest irracjonalne było jednym z pierwszych głównych dowodów matematycznych i spowodował kryzys w starożytnej greckiej matematyki, zaprzeczając ich przekonaniu, że wszystkie liczby były racjonalne.
Kwadrat Korzenie w komputerach
Nowoczesne CPUs mają specjalne instrukcje sprzętowe, aby efektywnie obliczyć pierwiastki kwadratowe, pokazując znaczenie operacji w komputerach.
Połączenie Golden Ratio
Stosunek złotego materiału do powierzchni, ważny z punktu widzenia sztuki i wzornictwa, może być wyrażony przy użyciu pierwiastków kwadratowych: (1 + III5) / 2.
Real- Światowe aplikacje
Korzenie kwadratowe są szeroko stosowane w wielu praktycznych zastosowaniach:
| Pole | Stosowanie |
|---|---|
| Finansowanie | Obliczanie odchylenia standardowego w ocenie ryzyka i zmienności na rynkach akcji |
| Budownictwo | Określanie pomiarów przekątnej i zapewnienie kątów prostych przy użyciu twierdzenia Pitagorasa |
| Fizyka | Obliczanie częstotliwości fal, okresów orbitalnych i energii w słynnym E = mc ² Einsteina |
| Grafika komputerowa | Normalizacja wektorów, obliczanie odległości i renderowanie obiektów 3D |
| Medycyna | Obliczanie dawek na podstawie powierzchni ciała (z wykorzystaniem pierwiastków kwadratowych) |
Wzór pierwiastka kwadratowego
Pierwiastek kwadratowy z liczby jest wartością, która po pomnożeniu przez siebie daje liczbę pierwotną.
Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy
Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby:
-
1Identyfikacja liczby, z której chcesz znaleźć pierwiastek kwadratowy
-
2Użyj kalkulatora lub metody matematycznej, aby znaleźć pierwiastek kwadratowy
-
3Weryfikacja wyniku poprzez pomnożenie go przez siebie
Na przykład, aby znaleźć pierwiastek z 16:
Kwadrat Root - Przykłady praktyczne
Przykład 1Perfect Square
Jaki jest pierwiastek z 25?
√Ö 25 = 5, ponieważ 5 × 5 = 25
Przykład 2Niedoskonały kwadrat
Jaki jest pierwiastek z 2?
√III2 RR1.4142 (wartość przybliżona)
Przykład 3Duża liczba
Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 10000?
√ 10000 = 100, ponieważ 100 × 100 = 10000