Średnia geometryczna Kalkulator

Spis treści

4 Średnia geometryczna - przykłady praktyczne

Przewodnik

Zrozumienie geometryczne Średnia

Średnia geometryczna jest rodzajem średniej, która reprezentuje centralną tendencję zbioru liczb, używając ich produktu zamiast sumy. Jest to szczególnie przydatne w przypadku zbiorów danych o wartościach, które zmieniają się poprzez mnożenie (takich jak stopy wzrostu), a nie przez dodawanie.

Co to jest średnia geometryczna?

Średnia geometryczna jest definiowana jako n-ty pierwiastek z iloczynu n liczb. W przeciwieństwie do średniej arytmetycznej (która dodaje wartości i dzieli przez liczbę), średnia geometryczna mnoży wszystkie wartości razem, a następnie bierze odpowiedni pierwiastek.

Kluczowe właściwości średniej geometrycznej:

Jest ona zawsze mniejsza lub równa średniej arytmetycznej (równość występuje tylko wtedy, gdy wszystkie wartości są identyczne)
Jest on zdefiniowany tylko dla liczb dodatnich
Jest to mniej zależne od wartości ekstremalnych niż średnia arytmetyczna
Jeżeli każda wartość w zestawie danych jest zastąpiona średnią geometryczną, ich produkt pozostaje niezmieniony

Różnice między średnią arytmetyczną a geometryczną

Aspekt	Średnia arytmetyczna	Średnia geometryczna
Wzór	(x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n	(x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n)
Działanie	Dodanie następnie podział	Mnożenie to root
Najlepiej dla	Dane liniowe, zmiany bezwzględne	Dane szczegółowe, wskaźniki wzrostu
Przykład	Średnie wyniki badań	Średnie zyski z inwestycji

Zastosowanie średniej geometrycznej

Średnia geometryczna jest szeroko stosowana w różnych dziedzinach:

Finanse:Obliczanie średnich zysków z inwestycji i złożonych rocznych stóp wzrostu (CAGR)
Biologia:Analiza wzrostu populacji, wskaźników wzrostu bakterii i procesów biologicznych
Geometria:Znalezienie długości boku kwadratu o tym samym obszarze co prostokąt
Statystyki:Analizując zbiory danych z zachowaniem wykładniczym lub relacjami proporcjonalnymi
Ekonomia:Pomiar średnich stóp wzrostu gospodarczego i wskaźników cen

Średnia geometryczna w geometrii

W geometrii średnia geometryczna ma szczególne znaczenie. Dla trójkąta prawego, jeżeli wysokość jest ciągnięta od kąta prawego do przeciwprostokątnej, długość wysokości jest średnią geometryczną segmentów przeciwprostokątnej. Jest to znane jako geometryczne twierdzenie średnie.

Związek z innymi środkami:

Dla każdego zestawu liczb rzeczywistych dodatnich, następujące nierówności utrzymują:

Średnia harmoniczna ≤ Średnia geometryczna ≤ Średnia arytmetyczna

Związek ten jest znany jako AM- GM- HM nierówności, a równość występuje tylko wtedy, gdy wszystkie wartości w zestawie są identyczne.

Mathematical Proof of AM- GM Inequality

Nierówność AM-GM stwierdza, że średnia arytmetyczna zestawu nieujemnych liczb rzeczywistych jest większa lub równa średniej geometrycznej tych liczb. Oto dowód na dwie liczby:

Dla każdej dwóch liczb dodatnich a i b:

(a - b)² ≥ 0

a² - 2ab + b² ≥ 0

a² + 2ab + b² ≥ 4ab

(a + b)² ≥ 4ab

a + b ≥ 2 ^ ab

(a + b) / 2 ≥ Âab

To dowodzi, że średnia arytmetyczna (a + b) / 2 jest większa lub równa średniej geometrycznej ð ab, z równością, jeśli i tylko jeśli a = b.

Obliczanie alternatywne Metody

Dla dużych zbiorów danych lub liczb z wieloma cyframi, obliczanie geometrycznej średniej bezpośrednio może prowadzić do wyzwań obliczeniowych ze względu na bardzo duże produkty. Alternatywne podejście wykorzystuje logarytmy:

Weź logarytm każdej liczby w zbiorze danych
Oblicz średnią arytmetyczną tych logarytmów
Weźmy antylogarytm (wykładnictwo) tej średniej

GM = exp (logarytm (x yyy) + logarytm (x yyy) +... + logarytm (yyy)) / n)

Geometria ważona Średnia

Podobnie jak ważona średnia arytmetyczna, możemy obliczyć ważoną średnią geometryczną, gdy różne wartości mają różne poziomy znaczenia:

GM ważone = (x ^ w = × x ^ w = ×... × x ^ wwetts) ^ (1 / (w .html +... + wwetts))

Gdzie, w, w,..., są wagi przypisane do każdej wartości.

Zaawansowane aplikacje

W finansach i ekonomii

Średnia geometryczna jest niezbędna do obliczenia rocznej stopy wzrostu (CAGR) inwestycji:

CAGR = (wartość końcowa / wartość początkowa) ^ (1 / n) - 1

Gdzie n jest liczbą lat.

Na przykład, jeśli inwestycja rośnie z 1,000 dolarów do 1,610 dolarów w ciągu 5 lat, CAGR jest:

CAGR = (1610 / 1000) ^ (1 / 5) - 1 = 1,1 ^ (1 / 5) - 1 = 0,10 lub 10%

W przetwarzaniu obrazów

Filtr średniej geometrycznej jest stosowany w cyfrowym przetwarzaniu obrazu w celu zmniejszenia niektórych rodzajów hałasu przy zachowaniu funkcji krawędzi, w przeciwieństwie do średnich arytmetycznych filtrów, które mają tendencję do rozmycia krawędzi.

W akustyce i inżynierii audio

Średnia geometryczna jest wykorzystywana do obliczania częstotliwości środkowej pasm częstotliwości audio, szczególnie w equalizers i narzędzi do analizy dźwięku.

Częstotliwość środkowa = Δ( f · × f δ)

W przypadku gdy wartości f i f są dolną i górną granicą częstotliwości.

Średnia geometryczna w nauce o danych

W nauce o danych i nauce maszyn średnia geometryczna jest cenna dla:

Znormalizowane wskaźniki dokładności:Przy łączeniu wielu wskaźników klasyfikacji
Metody ensemble:Łączenie prognoz z wielu modeli
skalowanie cech:Normalizacja funkcji z multiplikacyjnymi relacjami
Wykrywanie anomalii:Identyfikacja czynników wyjściowych w danych mnożnikowych

Kiedy wybrać średnią geometryczną nad średnią arytmetyczną:

W odniesieniu do procentów, współczynników lub stawek
Analizując wzrost w wielu okresach
Kiedy wartości mają związek mnożnikowy zamiast addytywny
Kiedy wartości ekstremalne mogą przekreślić średnią arytmetyczną
Przy obliczaniu średnich współczynników lub mnożników

Koncepcja

Średnia geometryczna

Średnia geometryczna obliczana jest przez wzięcie n-tego pierwiastka z iloczynu n liczb. Jest to szczególnie przydatne do obliczania średnich wskaźników zmian lub tempa wzrostu.

Wzór:

Średnia geometryczna = (x × × × ×... × xx) ^ (1 / n)

Kroki

Jak obliczyć średnią geometryczną

Aby obliczyć średnią geometryczną, należy wykonać następujące czynności:

1
Pomnożyć wszystkie liczby razem
2
Policz ile liczb jest w zbiorze danych
3
Weź nth korzeń produktu

Na przykład, aby znaleźć średnią geometryczną 2, 4, 8:

Przykład obliczenia:

Średnia geometryczna = (2 × 4 × 8) ^ (1 / 3) = 64 ^ (1 / 3) = 4

Przykłady

Średnia geometryczna - przykłady praktyczne

Przykład 1Zwroty inwestycji

Inwestycja wzrasta o 10%, 20%, oraz 15% ponad trzy lata. Jaka jest średnia roczna stopa wzrostu?

Średnia geometryczna = (1,10 × 1,20 × 1,15) ^ (1 / 3) = 1,1487 = 14,87%

Przykład 2Wzrost liczby ludności

Populacja rośnie z 1000 do 1500 w ciągu 5 lat. Jaka jest średnia roczna stopa wzrostu?

Stopień wzrostu = (1500 / 1000) ^ (1 / 5) = 1, 0845 = 8, 45%

Przykład 3Wymiary prostokąta

Prostokąt ma boki 4 i 9. Jaka jest długość boku kwadratu o tym samym obszarze?

Średnia geometryczna = Δ( 4 × 9) = Â36 = 6