Samenvatting Calculator

Bereken de som van een reeks met behulp van sigmanotatie.

Rekenmachine

Voer uw expressie in

Voer een wiskundige uitdrukking in met "n" als variabele (bijv. n^2 + 2*n + 1)

Inhoudsopgave

1 Samenvattingsnotatie begrijpen
2 Samenvattingsformule
3 Hoe de samenvatting te berekenen
4 Samenvatting - Praktische voorbeelden
Volledige hulplijn

Samenvattingsnotatie begrijpen

Inleiding tot de samenvatting

Sommatie notatie, vertegenwoordigd door de Griekse letter sigma (Σ), is een krachtige wiskundige steno gebruikt om de toevoeging van een reeks van getallen of termen uit te drukken. De notatie condenseert elegant wat anders lange uitdrukkingen zouden zijn, waardoor complexe berekeningen beheersbaarder en beknopter worden.

Standaard Sigma Notatie:
Σ(i=m to n) f(i) = f(m) + f(m+1) + f(m+2) + ... + f(n)

Componenten van de samenvattingsnotatie

  • Het sigmasymbool (Σ)- vertegenwoordigt de werking van de samenvatting
  • Indexvariabele (i)- De variabele die per term verandert
  • Ondergrens (m)- De beginwaarde van de index
  • Bovengrens (n)- De eindwaarde van de index
  • Functie of uitdrukking f(i)- De formule toegepast op elke waarde van de index

Sleuteleigenschappen van samenvatting

Het begrijpen van deze eigenschappen helpt bij het vereenvoudigen van berekeningen en het manipuleren van samenvattingen:

Constante eigenschap

Σ(i=m tot n) c = c + c + ... + c = c·(n-m+1)

Waar c een constante is.

Distributie

Σ(i=m to n) [f(i) + g(i)] = Σf(i) + Σg(i)

Som van functies is gelijk aan som van hun afzonderlijke bedragen.

Vermenigvuldiging van de schaal

Σ(i=m to n) c·f(i) = c·Σ(i=m to n) f(i)

Constanten kunnen uit de som gehaald worden.

Indexverschuiving

Σ(i=m to n) f(i) = Σ(j=m+k to n+k) f(j-k)

Dezelfde som met verschoven indices.

Gemeenschappelijke samenvattingsformules

Deze standaardformules besparen tijd bij de berekening van specifieke soorten bedragen:

Som van de eerste natuurlijke getallen

Σ(i=1 tot n) i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

Som van vierkanten

Σ(i=1 tot n) i2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6

Som van Kubussen

Σ(i=1 tot n) i3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = [n(n+1)/2]2

Speciale serietypes

Verschillende soorten sequenties leiden tot verschillende sommatieformules:

Rekenkundige reeks

Voor een rekenkundige volgorde met eerste termijn a en gemeenschappelijk verschil d:

Σ(i=1 tot n) [a + (i-1)d] = n/2 * [2a + (n-1)d] = n/2 * (eerste termijn + laatste termijn)

Geometrische reeks

Voor een geometrische sequentie met eerste term a en gemeenschappelijke verhouding r:

Σ(i=1 t/m n) ar^(i-1) = a(1-r^n)/(1-r) voor r

Wanneer< 1, the sum of an infinite geometric series is:

Σ(i=1 tot ∞) ar^(i-1) = a/(1-r)

Geavanceerde samenvattingstechnieken

Bij het werken met complexe samenvattingen kunnen deze methoden nuttig zijn:

Telescopen serie

Een telescoopserie is er een waarin de tussentermen worden opgeheven wanneer ze worden uitgebreid, waardoor er slechts een paar termen overblijven. Bijvoorbeeld:

Σ(i=1 tot n) [1/i - 1/(i+1)] = 1 - 1/(n+1)

Dubbele samenvatting

Bij het werken met meerdere indices (zoals in matrices):

Σ(i=1 tot m) Σ(j=1 tot n) a_ij

Samenvatting

Samenvatting notatie heeft wijdverbreide toepassingen in de wiskunde en andere disciplines:

  • Statistieken- Berekenen van middelen, afwijkingen en standaardafwijkingen
  • Calculus- Riemann bedragen voor het benaderen van de integralen
  • Financiën- Berekening van samengestelde rente en contante waarde
  • Natuurkunde- Berekening van totale krachten, energieën of andere fysieke hoeveelheden
  • Computerwetenschappen- Algoritmeanalyse en computationele complexiteit
Pro Tip:
Bij het oplossen van complexe sommaties, probeer ze te breken in eenvoudigere delen met behulp van de distributie-eigenschap of op zoek naar patronen die overeenkomen met bekende formules. Oefenen met basisbedragen voordat je complexere uitdrukkingen aanpakt.
Onderwerp

Samenvattingsformule

De som (sigma notatie) vertegenwoordigt de som van een reeks termen. Het wordt aangeduid met de Griekse letter sigma (Σ).

Formule:
Σ(n=a to b) f(n) = f(a) + f(a+1) + ... + f(b)
Stappen

Hoe de samenvatting te berekenen

Om een samenvatting te berekenen, volg deze stappen:

  1. 1
    Voer de expressie in met 'n' als variabele
  2. 2
    Specificeer de startwaarde (ondergrens)
  3. 3
    Specificeer de eindwaarde (bovengrens)
  4. 4
    Bereken de som van alle termen van begin tot eind

Bijvoorbeeld om de som van n2 van 1 tot 5 te vinden:

Voorbeeldberekening:
Σ(n=1 tot 5) n2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
Voorbeelden

Samenvatting - Praktische voorbeelden

Voorbeeld 1Som van natuurlijke getallen

Bereken de som van natuurlijke getallen van 1 tot 10.

Σ(n=1 tot 10) n = 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55

Voorbeeld 2Som van vierkanten

Bereken de som van de vierkanten van 1 tot 5.

Σ(n=1 t/m 5) n2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55

Voorbeeld 3Rekenkundige volgorde

Bereken de som van de rekenkundige volgorde 2n + 1 van 1 tot en met 5.

Σ(n=1 tot 5) (2n + 1) = (2*1 + 1) + (2*2 + 1) + ... + (2*5 + 1) = 35

Hulpmiddelen

Wiskunde Calculatoren

Median Exponent Hex Geometric Mean Scientific Notation

Ander gereedschap nodig?

Kan je de rekenmachine niet vinden die je nodig hebt?Contacteer onsom andere wiskundige rekenmachines te suggereren.