GCD Calculator
Bereken de Greatest Common Divisor (GDD) van een reeks getallen.
Voer uw nummers in
GCD begrijpen: Een uitgebreide gids
Wat is de Greatest Common Divisor?
De Greatest Common Divisor (GCD), ook bekend als de Hoogste Common Factor (HCF) of Greatest Common Factor (GCF), is een fundamenteel concept in de getallentheorie. Het is het grootste positieve geheel getal dat twee of meer getallen verdeelt zonder een rest te laten.
Bijvoorbeeld, de GCD van 12 en 18 is 6, want het is het grootste aantal dat zowel 12 als 18 verdeelt zonder een restje achter te laten. De GCD is nooit negatief of nul, en de kleinste GCD tussen twee getallen is 1.
Historische betekenis
Het concept van GCD heeft oude wortels die teruggaan tot Euclides Elements (ongeveer 300 v.Chr.). Het Euclidische algoritme voor het vinden van de GCD is een van de oudste algoritmen die vandaag nog gemeenschappelijk worden gebruikt. Door de geschiedenis heen ontwikkelden wiskundigen in verschillende culturen, waaronder oude Griekse, Chinese en Indiase beschavingen, methoden om gemeenschappelijke verdeeldheden te vinden, die het universele belang van dit concept aantonen.
Methoden voor het vinden van GCD
Er zijn verschillende methoden om de GCD van twee of meer getallen te berekenen:
1. Euclidisch algoritme
This efficient method is based on the principle that if a and b are two positive integers with a > b, then: GCD(a,b) = GCD(b, a mod b), where "a mod b" represents the remainder when a is divided by b. The algorithm continues recursively until the remainder becomes zero, at which point the GCD is the last non-zero remainder.
Voorbeeld: Zoek GCD(48, 18)
48 = 18 × 2 + 12
18 = 12 × 1 + 6
12 = 6 × 2 + 0
Aangezien de rest nu 0 is, is de GCD 6.
2. Prime Factorization Methode
In deze methode wordt elk getal uitgedrukt als een product van priemfactoren. De GCD is het product van de gemeenschappelijke priemfactoren, elk verhoogd tot het minimale vermogen dat het in beide nummers verschijnt.
Voorbeeld: Zoek GCD(48, 180)
48 = 24 × 3
180 = 22 × 32 × 5
Vaak voorkomende factoren: 22 × 3 = 12
Daarom, GCD(48, 180) = 12
3. Consecutieve-afdelingsmethode
Ook bekend als de lange verdeling methode, deze aanpak omvat het verdelen van het grotere aantal door de kleinere, vervolgens delen van de deler door de rest, en doorgaan tot de rest is nul.
Eigenschappen van GCD
- GCD(a,b) = GCD(b,a) - De volgorde van getallen doet er niet toe
- GCD(a,0) =
- GCD(a,a) =
- GCD(a,1) = 1 - De GCD van elk getal en 1 is altijd 1
- Als een b gelijkmatig verdeelt, dan GCD(a,b) =
- GCD(a,b) × LCM(a,b) =
Toepassingen in de reële wereld
De GCD heeft tal van praktische toepassingen buiten de wiskunde:
Cryptografie
GCD speelt een cruciale rol in algoritmes zoals RSA, die wijd worden gebruikt voor een veilige gegevensoverdracht. RSA omvat het vinden van grote priemgetallen, en de GCD wordt gebruikt om ervoor te zorgen dat bepaalde sleutelwaarden coprime zijn.
Fractions en ratio's
GCD helpt breuken te vereenvoudigen tot de laagste termen door zowel teller als noemer te delen door hun GCD.
Engineering en ontwerp
Bij het ontwerpen van patronen, tegels, of versnellingen, GCD helpt bij het bepalen van de grootst mogelijke grootte van de eenheid of het aantal tanden dat efficiënt zal samenwerken.
Toewijzing van middelen
GCD helpt bij het verdelen van middelen in gelijke groepen zonder restanten, zoals het verdelen van items over mensen of het organiseren van schema's.
Verbinding met LCM
De GCD is nauw verwant aan het Minst Gemeenschappelijk Multiple (LCM). Voor elke twee getallen a en b worden hun GCD en LCM verbonden door de formule:
Deze relatie stelt ons in staat om de LCM gemakkelijk te berekenen zodra we de GCD kennen, en vice versa.
GCD Formule
De Greatest Common Divisor (GCD) van twee of meer getallen is het grootste positieve geheel getal dat alle getallen verdeelt zonder een restje achter te laten.
Hoe GCD te berekenen
Om de GCD te berekenen, volg deze stappen:
-
1Zoek de priemfactorisatie van elk getal
-
2Neem het laagste vermogen van elke gemeenschappelijke priemfactor
-
3Vermenigvuldig deze priemfactoren samen
Om bijvoorbeeld de GCD van 12 en 18 te vinden:
18 = 2 × 3²
GCD = 2 × 3 = 6
GCD - Praktische voorbeelden
Voorbeeld 1Vereenvoudigen van breuken
Om de fractie 24/36 te vereenvoudigen, moeten we de GCD van 24 en 36 vinden.
GCD(24, 36) = 12
24/36 = (24÷12)/(36÷12) = 2/3
Voorbeeld 2Items evenveel verdelen
Een leraar heeft 48 potloden en 36 gummetjes. Wat is het grootste aantal studenten dat evenveel potloden en gum kan ontvangen?
GCD (48, 36) = 12 studenten
Elke student krijgt 4 potloden en 3 gummetjes
Voorbeeld 3Terugkerende patronen
Twee versnellingen hebben respectievelijk 24 en 36 tanden. Na hoeveel rotaties zullen ze in dezelfde positie uitlijnen?
GCD(24, 36) = 12 tanden
Eerste versnelling: 12/24 = 1/2 rotatie
Tweede versnelling: 12-36 = 1/3 rotatie