Calculatrice Van der Waals
Calculer les propriétés du gaz à l'aide de l'équation d'état Van der Waals.
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Sommaire
Comprendre l'équation de Van der Waals
Introduction aux gaz réels
La loi idéale sur les gaz (PV = nRT) sert d'équation fondamentale en thermodynamique, mais elle fait plusieurs hypothèses simplifiantes qui ne sont pas valables pour les gaz réels, en particulier à haute pression ou à basse température. En 1873, le physicien néerlandais Johannes Diderik van der Waals propose une équation d'état plus précise qui explique le comportement des gaz réels.
Historique
Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) a développé son équation dans le cadre de sa thèse de doctorat à l'Université Leiden. Son travail novateur lui vaut le prix Nobel de physique en 1910. Van der Waals a reconnu que les écarts par rapport au comportement de gaz idéal étaient dus à deux facteurs clés: la taille finie des molécules de gaz et les forces attractives entre eux.
Limitations de la loi sur le gaz idéal
La loi sur le gaz idéale suppose que:
- Les molécules de gaz ont un volume négligeable
- Il n'y a pas de force attrayante ou répulsive entre les molécules
- Toutes les collisions entre molécules sont parfaitement élastiques
- Les molécules se déplacent au hasard sans direction préférée
Les gaz réels s'écartent de ces hypothèses, en particulier dans des conditions de haute pression ou de basse température où les forces intermoléculaires deviennent importantes.
Les corrections de Van der Waals
L'équation Van der Waals introduit deux facteurs de correction à la loi du gaz idéale:
1. Correction du volume moléculaire
Le paramètrebcompte pour le volume fini des molécules de gaz. Le volume réel disponible pour les molécules est inférieur au volume du récipient d'une quantité proportionnelle au nombre de molécules. Cette correction remplace V par (V - nb) dans l ' équation.
2. Correction pour les forces intermoléculaires
Le paramètreaexplique les forces attractives entre les molécules. Ces forces réduisent la pression exercée par le gaz sur les parois du réservoir. Cette correction ajoute le terme a(n/V)2 à la pression.
Dérivation mathématique
En commençant par la loi idéale sur le gaz: PV = nRT
Appliquer les corrections:
- Remplacer V par (V - nb) pour tenir compte du volume moléculaire
- Remplacer P par (P + a(n/V)2) pour tenir compte des forces intermoléculaires
Cela nous donne l'équation de Van der Waals:
Comparaison graphique : Idéal vs. Gaz réel
Le graphique ci-dessous illustre la différence entre la loi idéale du gaz et l'équation Van der Waals pour un gaz typique. Les isothermes (courbes de température constante) montrent comment la pression varie en fonction du volume.
Figure: Comparaison des relations pression-volume pour le gaz idéal (lignes bleues pointillées) et le gaz réel décrit par l'équation Van der Waals (lignes solides rouges) à différentes températures. Noter le point critique et la région de transition de la phase gaz liquide.
Principales observations du graphique:
- À haute température (courbes supérieures), les deux modèles se comportent de la même façon
- Aux températures plus basses, l'équation de Van der Waals montre des écarts significatifs par rapport à la loi de gaz idéale
- Sous la température critique (Tc), les isothermes Van der Waals montrent des oscillations qui correspondent à des transitions de phase entre les états liquides et gazeux
- Le point critique représente la température et la pression au-dessus desquelles la distinction entre phases liquide et gazeuse disparaît
Points critiques et transitions en phase
L'une des réalisations les plus importantes de l'équation de Van der Waals est sa capacité à prédire l'existence de points critiques et à décrire les transitions de phase entre les états gazeux et liquides. Au point critique, défini par la température critique (Tc), pression critique (Pc) et volume critique (Vc), la distinction entre phases liquide et gazeuse disparaît.
Les constantes critiques peuvent être exprimées en termes de paramètres Van der Waals:
- Température critique: Tc = 8a/27Rb
- Pression critique: Pc = a/27b²
- Volume critique: Vc = 3nb
Constantes Van der Waals communes
Voici un tableau des constantes Van der Waals pour les gaz courants. Ces valeurs peuvent être utilisées dans les calculs pour prédire le comportement réel du gaz.
| Gaz | a (Pa·m6/mol2) | b (10−5 m3/mol) | Temps critique (K) |
|---|---|---|---|
| Hydrogène (H2) | 0.0247 | 2.661 | 33.2 |
| Hélium (He) | 0.00346 | 2.38 | 5.2 |
| Azote (N2) | 0.1408 | 3.913 | 126.2 |
| Oxygène (O2) | 0.1382 | 3.183 | 154.6 |
| Dioxyde de carbone (CO2) | 0.3640 | 4.267 | 304.2 |
| Ammoniac (NH3) | 0.4225 | 3.707 | 405.5 |
| Eau (H2O) | 0.5537 | 3.049 | 647.1 |
| Méthane (CH4) | 0.2283 | 4.278 | 190.6 |
Applications dans les sciences modernes
L'équation de Van der Waals reste pertinente dans la science moderne et a des applications dans:
- Processus et conception du génie chimique
- Systèmes de réfrigération et de climatisation
- Traitement et transport du gaz naturel
- Applications des fluides supercritiques
- Modélisation thermodynamique de systèmes complexes
Limites de l'équation Van der Waals
Alors que l'équation de Van der Waals fournit une meilleure approximation que la loi de gaz idéale, elle a encore des limites:
- Il devient moins précis à des pressions extrêmement élevées
- Il ne modélise pas parfaitement toutes les transitions de phase
- On suppose que les constantes a et b sont indépendantes de la température et de la pression, ce qui n'est pas strictement vrai.
- Des équations d'état plus complexes (comme les équations Redlich-Kwong ou Peng-Robinson) peuvent fournir une meilleure précision pour des applications spécifiques
États de forme réduite et États correspondants
L'équation de Van der Waals peut être exprimée en termes de propriétés réduites (Pr = P/Pc, Vr = V/Vc, Tr = T/Tc), conduisant au principe des Etats correspondants. Ce principe suggère que tous les gaz se comportent de la même manière lorsqu'ils sont comparés dans les mêmes conditions réduites, ce qui a des implications importantes pour la modélisation thermodynamique.
Aperçu clé
L'équation de Van der Waals fait le pont entre le comportement de gaz idéal et la réalité complexe des interactions moléculaires. Sa formulation élégante capture les phénomènes physiques essentiels tout en restant mathématiquement traitable, en faisant une des équations les plus importantes de l'histoire de la thermodynamique.
Équation Van der Waals
L'équation de Van der Waals est une version modifiée de la loi de gaz idéale qui tient compte de la taille finie des molécules et des forces attrayantes entre elles.
où:
- P = Pression (Pa)
- V = volume (m3)
- n = Nombre de taupes
- R = constante de gaz (8,314 J/(mol·K))
- T = température (K)
- a = constante Van der Waals a (Pa·m6/mol2)
- b = constante de Van der Waals b (m3/mol)
Comment calculer
Pour calculer à l'aide de l'équation Van der Waals, suivez les étapes suivantes :
-
1Entrez la pression, le volume, le nombre de moles et la température
-
2Entrez les constantes Van der Waals a et b pour votre gaz
-
3La calculatrice vérifiera si les valeurs satisfont à l'équation
Van der Waals Constantes
Les constantes Van der Waals a et b sont spécifiques à chaque gaz et tiennent compte:
- a: Forces attractives entre molécules
- b: Volume occupé par les molécules
Pour l'azote (N2):
- a = 0,1378 Pa·m6/mol2
- b = 0,03183 m3/mol
Exemples pratiques
Exemple 1Gaz d'azote
Calculer la pression de 1 mole de gaz azoté à 273,15K dans un réservoir de 0,0224 m3 à l'aide de l'équation Van der Waals.
Valeurs indiquées:
- n = 1 mol
- V = 0.0224 m³
- T = 273.15 K
- a = 0,1408 Pa·m6/mol2
- b = 3,913 × 10−5 m3/mol
- R = 8,314 J/(mol·K)
Note: Volume (0,0224 m3) > n×b (3,913 × 10−5 m3), de sorte que cet exemple satisfait la contrainte de volume.
En utilisant l'équation de Van der Waals:
P = (nRT/(V-nb)) - (a(n/V)2)
P = (1 × 8.314 × 273.15/(0.0224-1×3.913×10⁻⁵)) - (0.1408(1/0.0224)²)
101325 Pa (1 atm)
Exemple 2Dioxyde de carbone
Calculer la température de 2 moles de dioxyde de carbone à 150000 Pa dans un récipient de 0,05 m3.
Valeurs indiquées:
- P = 150000 Pa
- V = 0.05 m³
- n = 2 mol
- a = 0,364 Pa·m6/mol2
- b = 4,29 × 10−5 m3/mol
- R = 8,314 J/(mol·K)
Note: Volume (0,05 m3) > n×b (2 × 4,29 × 10−5 = 8,58 × 10−5 m3), de sorte que cet exemple satisfait la contrainte de volume.
En utilisant l'équation de Van der Waals réaménagée pour la température:
T = ((P + a(n/V)2)(V - nb))/(nR)
T = ((150000 + 0.364(2/0.05)²)(0.05 - 2×4.29×10⁻⁵))/(2×8.314)
T ≈ 450.2 K
Exemple 3Gaz d'oxygène
Calculer le volume de 0,5 mole d'oxygène à 100000 Pa et 300 K.
Valeurs indiquées:
- P = 100000 Pa
- n = 0,5 mol
- T = 300 K
- a = 0,1382 Pa·m6/mol2
- b = 3,183 × 10−5 m3/mol
- R = 8,314 J/(mol·K)
Note : Pour satisfaire la contrainte de volume, il faut trouver V de telle sorte que V > n×b = 0,5 × 3,183 × 10−5 = 1,59 × 10−5 m3.
En utilisant l'équation de Van der Waals pour résoudre le volume (intérimairement).
Le volume calculé est d'environ 0,0125 m3, soit > n×b.
Exemple 4Hydrogène Gaz
Calculer le nombre de moles d'hydrogène à 120000 Pa, 350 K dans un volume de 0,01 m3.
Valeurs indiquées:
- P = 120000 Pa
- V = 0.01 m³
- T = 350 K
- a = 0,0247 Pa·m6/mol2
- b = 2,661 × 10−5 m3/mol
- R = 8,314 J/(mol·K)
Note: Pour satisfaire la contrainte de volume, nous devons trouver n tel que n< V/b = 0.01/2.661×10⁻⁵ = 375.8 mol.
En utilisant l'équation de Van der Waals pour résoudre les taupes (itativement).
Le nombre calculé de moles est d'environ 0,42 mol, ce qui satisfait n< V/b.