Tangent Taschenrechner
Berechnen Sie die Tangente jedes Winkels in Grad oder Radien.
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Inhaltsverzeichnis
Umfassender Leitfaden für Tangente Funktionen
Einführung in Tangent
Die tangente Funktion ist ein grundlegendes Konzept in der Trigonometrie mit umfangreichen Anwendungen in Mathematik, Physik, Ingenieurwesen und anderen wissenschaftlichen Bereichen. Historisch entstand sie neben anderen trigonometrischen Funktionen, als Mathematiker arbeiteten, um Probleme in der Astronomie, Navigation und Landvermessung zu lösen.
Mathematische Definition
Die Tangente eines Winkels θ, der als tan(θ) bezeichnet wird, kann auf verschiedene äquivalente Weise definiert werden:
- Definition des rechten Dreiecks:Das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zur Länge der benachbarten Seite in einem rechten Dreieck.
- Einheitskreis Definition:Für einen Punkt (x,y) auf dem Einheitskreis entsprechend dem Winkel θ, tan(θ) = y/x (vorgesehen x ≠ 0).
- Beziehung zu Sine und Cosine:tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) (vorgesehen cos(θ) ≠ 0).
Schlüsseleigenschaften der Tangent-Funktion
Domain und Range
- Bereich:Alle realen Zahlen außer x = (2n+1)π/2, wobei n eine ganze Zahl ist
- Bereich:Alle realen Zahlen (-∞, ∞)
- Zeitraum:π Radien (180°)
Funktion Verhalten
- Odd-Funktion:tan(-θ) = -tan(θ)
- Vertikale asymptotes:Bei x = (2n+1)π/2 (odd multiples von π/2)
- Periodizität:tan(θ + π) = tan(θ)
Tangent Graph und Verhalten
Der Graph y = tan(x) hat mehrere Besonderheiten:
- Vertikale Asymptote treten bei x = π/2 + nπ auf, wobei n eine ganze Zahl ist
- Die Funktion kreuzt die x-Achse bei x = nπ, wobei n eine ganze Zahl ist
- Zwischen zwei aufeinander folgenden Asymptoten steigt die Tangentenfunktion kontinuierlich von -∞ bis +∞
- Die Tangentenkurve wiederholt alle π Radien (180°)
Wichtige Tangente Identitäten
tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
1 + tan²(θ) = sec²(θ)
tan(A + B) = [tan(A) + tan(B)]/[1 - tan(A)tan(B)]
tan(A - B) = [tan(A) - tan(B)]/[1 + tan(A)tan(B)]
tan(2θ) = 2tan(θ)/[1 - tan2(θ)]
Gemeinsame Exakte Tangent Werte
| Winkel (Grad) | Winkel (Radier) | Tangentenwert | Genaues Formular |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | 0.5774 | 1/√3 = √3/3 |
| 45° | π/4 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | 1.7321 | √3 |
| 90° | π/2 | Undefiniert | Undefiniert |
Anwendungen in verschiedenen Bereichen
Mathematik und Kalkül
- Analytische Geometrie zum Auffinden von Steigungen von Linien
- Integrations- und Differenzierungsformen
- Erweiterungen und Annäherungen der Serie
- Komplexe Zahlendarstellungen
Physik und Technik
- Wellenbewegung und Schwingungen
- Optik und Lichtbrechung
- Elektrische Schaltungen (Phasenbeziehungen)
- Klang und Akustik
Navigation und Astronomie
- Höhen und Abstände bestimmen
- GPS-Systeme und Positionierung
- Keltennavigation
- Mapping und Vermessung
Architektur und Design
- Dachschrägen und Winkel berechnen
- Luft- und Rampenneigungsberechnungen
- Schattenprojektionen und Sonnenwinkel
- Strukturelle Lastanalyse
Lösen von Problemen mit Tangent
Die Tangentenfunktion ist in diesen gemeinsamen Szenarien besonders nützlich:
- Unbekannte Seiten finden:Wenn Sie einen Winkel und eine Seite eines rechten Dreiecks kennen, kann Tangente helfen, andere Seiten zu bestimmen.
- Unbekannte Winkel finden:Wenn Sie zwei Seiten eines rechten Dreiecks kennen, kann inverse Tangente (tan-1 oder arctan) einen Winkel finden.
- Berechnen von Hängen:Die Tangente des Winkels a Linie macht mit der positiven x-Achse gleich der Steigung dieser Linie.
- Messhöhen indirekt:Mit dem Höhenwinkel und einem bekannten Abstand zur Berechnung der Höhe der hohen Strukturen.
Eine Leiter lehnt sich gegen eine Wand unter einem Winkel von 70° zum Boden. Wenn der Fuß der Leiter 2 Meter von der Wand entfernt ist, wie hoch oben die Wand erreicht die Leiter?
Lösung:
Verwendung von Tangenten: Höhe = 2 × tan(70°) = 2 × 2.7475 = 5.495 Meter
Was ist Tangent?
Die Tangentenfunktion ist eine der primären trigonometrischen Funktionen. In einem rechten Dreieck ist die Tangente eines Winkels das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zur Länge der benachbarten Seite.
Tangente Formel
Die Tangentenfunktion kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
Gebräuchlicher Tangent Werte
Spezialwinkel
- tan(0°) = 0
- Tan(30°) = 0,5774
- Tan(45°) = 1
- Tan(60°) = 1.7321
- tan(90°) = undefiniert
Eigenschaften
- Bereich: (-∞, ∞)
- Zeitraum: 180° oder π Radien
- Odd-Funktion: tan(-θ) = -tan(θ)
- tan(θ + 180°) = tan(θ)
Anwendungen von Tangent
PhysikBewegung
Tangente Funktionen werden verwendet, um Wellenbewegungen zu modellieren, einschließlich Schallwellen, Lichtwellen und Wasserwellen.
IngenieurwesenSignalverarbeitung
Tangent-Funktionen sind in Signalverarbeitung, Elektrotechnik und Kommunikationssystemen grundlegend.
NavigationGPS und Standort
Tangente Funktionen werden in GPS-Systemen und Navigation verwendet, um Distanzen und Positionen zu berechnen.