Van der Waals Taschenrechner
Berechnen Sie Gaseigenschaften mit der Zustandsgleichung Van der Waals.
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Inhaltsverzeichnis
Verstehen der Van der Waals Gleichung
Einführung in Realgase
Das ideale Gasgesetz (PV = nRT) dient als Grundgleichung in der Thermodynamik, aber es macht mehrere vereinfachende Annahmen, die für reale Gase, insbesondere bei hohen Drücken oder niedrigen Temperaturen, nicht wahr halten. 1873 schlug der niederländische Physiker Johannes Diderik van der Waals eine genauere Zustandsgleichung vor, die das Verhalten von realen Gasen ausmacht.
Historischer Hintergrund
Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) entwickelte seine Gleichung als Teil seiner Doktorarbeit an der Universität Leiden. Seine bahnbrechende Arbeit verdiente ihm 1910 den Nobelpreis für Physik. Van der Waals erkannte, dass die Abweichungen vom idealen Gasverhalten auf zwei Schlüsselfaktoren zurückzuführen waren: die endliche Größe von Gasmolekülen und die attraktiven Kräfte zwischen ihnen.
Einschränkungen des Idealgasgesetzes
Das ideale Gasrecht geht davon aus:
- Gasmoleküle haben vernachlässigbares Volumen
- Es gibt keine attraktiven oder abstoßenden Kräfte zwischen Molekülen
- Alle Kollisionen zwischen Molekülen sind perfekt elastisch
- Moleküle bewegen sich zufällig ohne bevorzugte Richtung
Von diesen Annahmen weichen reale Gase ab, insbesondere unter Bedingungen mit hohem Druck oder niedriger Temperatur, wo intermolekulare Kräfte signifikant werden.
Die Van der Waals Korrekturen
Die Van der Waals Gleichung führt zwei Korrekturfaktoren zum idealen Gasrecht ein:
ANHANG Korrektur des molekularen Volumens
Der Parameterbfür das endliche Volumen von Gasmolekülen. Das den Molekülen zur Verfügung stehende tatsächliche Volumen ist kleiner als das Behältervolumen um eine der Anzahl der Moleküle proportionale Menge. Diese Korrektur ersetzt V durch (V - nb) in der Gleichung.
2. Korrektur für intermolekulare Kräfte
Der Parameteradie attraktiven Kräfte zwischen Molekülen. Diese Kräfte verringern den Druck des Gases auf die Behälterwände. Diese Korrektur addiert den Begriff a(n/V)2 zum Druck.
Mathematische Ableitung
Beginnend mit dem idealen Gasrecht: PV = nRT
Anwendung der Korrekturen:
- Ersatz V mit (V - nb) für molekulares Volumen
- P mit (P + a(n/V)2) ersetzen, um intermolekulare Kräfte zu berücksichtigen
Dies gibt uns die Van der Waals Gleichung:
Grafischer Vergleich: Ideal vs. Real Gas
Im folgenden wird der Unterschied zwischen dem idealen Gasrecht und der Van der Waals-Gleichung für ein typisches Gas dargestellt. Die Isothermen (Kurven konstanter Temperatur) zeigen, wie sich der Druck mit Volumen ändert.
Abbildung: Vergleich von Druck-Volumen-Beziehungen für ideales Gas (blau gestrichelte Linien) und Realgas, beschrieben durch die Van der Waals-Gleichung (rote feste Linien) bei unterschiedlichen Temperaturen. Beachten Sie den kritischen Punkt und den Flüssiggasphasenübergangsbereich.
Kennzahlen aus dem Diagramm:
- Bei hohen Temperaturen (obere Kurven) verhalten sich beide Modelle ähnlich
- Bei niedrigeren Temperaturen zeigt die Van der Waals-Gleichung signifikante Abweichungen vom idealen Gasrecht
- Unterhalb der kritischen Temperatur (Tc), die Van der Waals isotherms zeigen Schwingungen, die Phasenübergänge zwischen Flüssigkeits- und Gaszuständen entsprechen
- Der kritische Punkt stellt die Temperatur und den Druck dar, über dem die Unterscheidung zwischen Flüssigkeits- und Gasphasen verschwindet
Kritische Punkte und Phasenübergänge
Eine der wichtigsten Errungenschaften der Van der Waals-Gleichung ist die Fähigkeit, das Vorhandensein kritischer Punkte vorherzusagen und Phasenübergänge zwischen Gas und flüssigen Zuständen zu beschreiben. Am kritischen Punkt, definiert durch kritische Temperatur (Tc), kritischer Druck (Pc), und kritisches Volumen (Vc), die Unterscheidung zwischen Flüssigkeits- und Gasphasen verschwindet.
Die kritischen Konstanten können in Bezug auf die Parameter Van der Waals ausgedrückt werden:
- Kritische Temperatur: Tc = 8a/27Rb
- Kritischer Druck: Pc = a/27b²
- Kritisches Volumen: Vgl.c = 3nb
Common Van der Waals Constants
Unten ist eine Tabelle von Van der Waals Konstanten für gemeinsame Gase. Diese Werte können in Berechnungen verwendet werden, um das reale Gasverhalten vorherzusagen.
| Gas | (Pa·m6/mol) | b (10-5 m3/mol) | Critical Temp. (K) |
|---|---|---|---|
| Wasserstoff (H2) | 0.0247 | 2.661 | 33.2 |
| Helium (He) | 0.00346 | 2.38 | 5.2 |
| Stickstoff (N2) | 0.1408 | 3.913 | 126.2 |
| Sauerstoff (O2) | 0.1382 | 3.183 | 154.6 |
| Kohlendioxid (CO2) | 0.3640 | 4.267 | 304.2 |
| Ammoniak (NH3) | 0.4225 | 3.707 | 405.5 |
| Wasser (H2O) | 0.5537 | 3.049 | 647.1 |
| Methan (CH4) | 0.2283 | 4.278 | 190.6 |
Anwendungen in der modernen Wissenschaft
Die Van der Waals Gleichung bleibt in der modernen Wissenschaft relevant und hat Anwendungen in:
- Chemische Technik und Design
- Kälte- und Klimasysteme
- Erdgasverarbeitung und Transport
- Superkritische Fluidanwendungen
- Thermodynamische Modellierung komplexer Systeme
Einschränkungen der Van der Waals Gleichung
Während die Van der Waals Gleichung eine bessere Annäherung als das ideale Gasrecht bietet, hat sie noch Einschränkungen:
- Es wird bei extrem hohen Drücken weniger genau
- Es modelliert nicht perfekt alle Phasenübergänge
- Die Konstanten a und b werden als unabhängig von Temperatur und Druck angenommen, was nicht streng wahr ist
- Mehr komplexe Zustandsgleichungen (wie die Redlich-Kwong- oder Peng-Robinson-Gleichungen) können für bestimmte Anwendungen eine bessere Genauigkeit bieten
Verminderte Form und entsprechende Staaten
Die Van der Waals-Gleichung kann in Bezug auf reduzierte Eigenschaften ausgedrückt werden (Pr = P/Pc, Vr = V/Vc, Tr = T/Tc), die zum Prinzip der entsprechenden Zustände führt. Dieses Prinzip schlägt vor, dass sich alle Gase ähnlich verhalten, wenn sie bei gleichen reduzierten Bedingungen verglichen werden, was wichtige Auswirkungen auf die thermodynamische Modellierung hat.
Schlüsselinspektion
Die Van der Waals-Gleichung überbrückt den Spalt zwischen idealem Gasverhalten und der komplexen Realität molekularer Interaktionen. Seine elegante Formulierung erfasst wesentliche physikalische Phänomene, während sie mathematisch lenkbar bleibt, so dass es eine der wichtigsten Gleichungen in der Geschichte der Thermodynamik.
Van der Waals Equity
Die Van der Waals-Gleichung ist eine modifizierte Version des idealen Gasgesetzes, das die endliche Größe von Molekülen und die attraktiven Kräfte zwischen ihnen ausmacht.
Wo:
- P = Druck (Pa)
- V = Volumen (m3)
- n = Molanzahl
- R = Gaskonstante (8.314 J/(mol·K))
- T = Temperatur (K)
- a = Van der Waals Konstante a (Pa·m6/mol2)
- b = Van der Waals Konstante b (m3/mol)
Wie zu berechnen
Um die Van der Waals Gleichung zu berechnen, folgen Sie diesen Schritten:
-
1Druck, Volumen, Molzahl und Temperatur eingeben
-
2Geben Sie die Van der Waals Konstanten a und b für Ihr Gas ein
-
3Der Rechner überprüft, ob die Werte die Gleichung erfüllen
Van der Waals Constants
Die Van der Waals Konstanten a und b sind für jedes Gas spezifisch und bilanzieren für:
- a: Attraktive Kräfte zwischen Molekülen
- b: von den Molekülen besetztes Volumen
Für Stickstoff (N2):
- = 0,1378 Pa·m6/mol2
- b = 0,03183 m3/mol
Praktische Beispiele
Beispiel 1Stickstoffgas
Berechnen Sie den Druck von 1 Mol Stickstoffgas bei 273.15K in einem 0,0224 m3 Behälter unter Verwendung der Van der Waals-Gleichung.
Bei Werten:
- n = 1 Mol
- V = 0.0224 m³
- T = 273.15 K
- = 0,1408 Pa·m6/mol2
- b) 3,13 × 10-5 m3/mol
- R = 8,314 J/(mol·K)
Anmerkung: Volumen (0.0224 m3) > n×b (3.913 × 10–5 m3), so dass dieses Beispiel die Volumenbeschränkung erfüllt.
Mit der Van der Waals Gleichung:
P = (nRT/(V-nb)) - (a(n/V)2)
P = (1 × 8.314 × 273.15/(0.0224-1×3.913×10⁻⁵)) - (0.1408(1/0.0224)²)
P ≈ 101325 Pa (1 atm)
Beispiel 2Kohlenstoffdioxid
Berechnung der Temperatur für 2 Mol Kohlendioxid bei 150000 Pa in einem 0,05 m3 Behälter.
Bei Werten:
- P = 150000 Pa
- V = 0.05 m³
- n = 2 Mol
- = 0,364 Pa·m6/mol2
- b) 4,29 × 10-5 m3/mol
- R = 8,314 J/(mol·K)
Anmerkung: Volumen (0,05 m3) > n×b (2 × 4,29 × 10–5 = 8,58 × 10–5 m3), so dass dieses Beispiel die Volumenbeschränkung erfüllt.
Mit der Van der Waals-Gleichung für die Temperatur umgeordnet:
T = (P + a(n/V)2)(V - nb))/(nR)
T = ((150000 + 0.364(2/0.05)²)(0.05 - 2×4.29×10⁻⁵))/(2×8.314)
T ≈ 450.2 K
Beispiel 3Sauerstoffgas
Berechnen Sie das Volumen für 0,5 Mol Sauerstoff bei 100000 Pa und 300 K.
Bei Werten:
- P = 100000 Pa
- n = 0,5 mol
- T = 300 K
- = 0,1382 Pa·m6/mol2
- b = 3.183 × 10-5 m3/mol
- R = 8,314 J/(mol·K)
Hinweis: Um die Volumenkonstrate zu befriedigen, müssen wir V so finden, dass V > n×b = 0,5 × 3.183 × 10–5 = 1,59 × 10–5 m3.
Mit der Van der Waals Gleichung für Volumen zu lösen (iterativ).
Das berechnete Volumen beträgt etwa 0,0125 m3, das ist > n x b.
Beispiel 4Wasserstoffgas
Berechnen Sie die Molzahl von Wasserstoff bei 120000 Pa, 350 K in einem Volumen von 0,01 m3.
Bei Werten:
- P = 120000 Pa
- V = 0.01 m³
- T = 350 K
- = 0,0247 Pa·m6/mol2
- b = 2.661 × 10-5 m3/mol
- R = 8,314 J/(mol·K)
Anmerkung: Um die Volumenbeschränkung zu befriedigen, müssen wir n so finden, dass n< V/b = 0.01/2.661×10⁻⁵ = 375.8 mol.
Mit der Van der Waals-Gleichung für Mole zu lösen (iterativ).
Die berechnete Molzahl beträgt ca. 0,42 Mol, was n< V/b.