几何平均值计算器
计算一组正数的几何平均值。
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理解几何 平均值
几何平均值是一类平均值,通过使用其产品而不是总和来代表一组数字的中心倾向. 对于具有通过乘法(如增长率)而不是通过增加而变化的数值的数据集来说,这一点特别有用。
几何平均数是什么?
几何平均值被定义为n数的产物n之根. 与算术平均值(用计数来增加值并进行除法)不同,几何平均值将所有值相乘,然后取出适当的根.
几何平均值的关键属性:
- 它总是小于或等于算术平均值(只有在所有值完全相同时才出现平等)
- 只有正数定义
- 它受极端价值的影响比算术平均值要小
- 如果数据集中的每个值被几何平均值所取代,则其产品保持不变
算术和几何平均值之间的差异
| 外观 | 算术平均值 | 几何平均值 |
|---|---|---|
| 公式 | (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n | (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) |
| 运行 | 添加然后分割 | 乘后为根 |
| 最好还是 | 线性数据,绝对变化 | 指数数据、增长率 |
| 示例 | 平均测试分数 | 平均投资收益 |
几何平均值的应用
几何平均值被广泛应用于不同领域:
- 财务:计算平均投资收益和复合年增长率(CAGR)
- 生物学:分析人口增长、细菌生长率和生物过程
- 几何学:查找与矩形相同的平方的侧长
- 统计:以指数行为或比例关系分析数据集
- 经济学:衡量平均经济增长率和价格指数
几何平均值
在几何学中,几何平均值具有特殊的意义. 对于一个正三角形,如果从正角到下垂的高度被划出,高度的长度是下垂部分的几何平均值. 这被称为几何平均定理.
与其他手段的关系:
对于任何一组正实际数字,以下的不平等是存在的:
相声平均值 相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相相
这种关系被称为AM-GM-HM不平等,平等只有在集合中的所有值完全相同时才会出现.
AM-GM不平等的数学证明
AM-GM不平等表示,一组非负数实数的算术平均值大于或等于这些数字的几何平均值. 这是两个数字的证据:
对于任何两个正数a和b:
(a - b)² ≥ 0
a² - 2ab + b² ≥ 0
a² + 2ab + b² ≥ 4ab
(a + b)² ≥ 4ab
a +b + 2 +b
(a) +(b)/2 +(a)
这证明算术(a + b)/2大于或等于"等分"的"等分"( ab),只有a = (b)时,方能平等.
备选计算 方法
对于有多个位数的大型数据集或数字,直接计算几何平均值会导致由于非常大的产品而导致的计算挑战. 另一种方法使用对数:
- 在数据集中取每个数字的对数
- 计算这些对数的算术平均值
- 取反逻辑( expension) 的这个平均值
GM=exp ((log (x1) + log (x2) +. + log (xn))/n) (中文(简体) )
加权几何 平均值
与加权算法平均值类似,当不同的值具有不同的重要性时,我们可以计算出一个加权几何平均值:
加权的GM= (x1^w1 ×2^w2 ×. xn^wn) ^ (1/(w1+w2+.+wn))
W1, w2,..., wn 是每个值的权重。
高级应用程序
财政和经济
几何平均值对于计算投资的复合年增长率至关重要:
CAGR = (最终值/ 初始值)^ (1/n) - 1
N是年数。
例如,如果投资在5年内从1 000美元增加到1 610美元,则CAGR是:
CAGR = (1610/1000)^ (1/5) - 1 = 1.1^ (1/5) - 1 = 0.10或10%
在图像处理中
几何平均滤波器在数字图像处理中被用来减少某些类型的噪声,同时保留边缘特征,与往往模糊边缘的算术平均滤波器不同.
在声学和音频工程
几何平均值用于计算音频频带的中心频率,特别是在等分器和音频分析工具中.
中频 = (f1 × f2)
其中f1和f2是下频和上频的界限.
数据科学中的几何平均值
在数据科学和机器学习中,几何平均值对以下方面很有价值:
- 标准化精确度测量:合并多个分类指标时
- 组合方法:结合多种模型的预测
- 特性缩放:使具有多种关系的特征正常化
- 异常检测:在多功能数据中识别异常值
选择几何平均值大于算术平均值时:
- 处理百分比、比率或比率时
- 分析多个时期的增长时
- 当值具有多相关系而不是添加关系时
- 当极端值可能扭曲一个算术平均值时
- 计算平均系数或乘数时
几何平均值公式
几何平均值通过取n个数的产物正根来计算. 这对于计算平均变化率或增长率特别有用.
如何计算几何平均值
要计算几何平均值,请遵循这些步骤:
-
1将所有数字相乘
-
2计算数据集中的数字
-
3取出产品的正根
例如,寻找2,4,8的几何平均值:
几何平均值 - 实例
实例1投资收益
投资增长10个%, 20%, 和 15% 超过三年。 平均年增长率是多少?
几何平均值 = (1.10 × 1.20 × 1.15)^(1/3) = 1.1487 = 14.87%
实例2人口增长
5年内人口从1000人增加到1500人。 平均年增长率是多少?
增长率=(1500/1000)^(1/5)=1.0845=8.45%
实例3矩形尺寸
长方形有4和9的两侧. 同一面积的正方形的侧长是什么?
几何平均值 = (4×9) = (36) = 6