Hata Fonksiyonu Hesaplayıcı
Hata fonksiyonunu hesaplamak (erf) ve gerçek bir sayı için tamamlayıcı hata fonksiyonunu (erfc) hesaplayın.
Hesaplamak Hata Fonksiyonu
İçerik tablosu
Hata Fonksiyonlarına Kapsamlı Rehber
Hata fonksiyonu (erf) birçok disiplinde derin etkilerle temel matematiksel özel bir işlevdir. 19. yüzyılda olasılık teorisini okuyan matematikçiler tarafından tanıtılmış, bu, istatistik, fizik, mühendislik ve uygulamalı matematikte temel bir araç haline gelmiştir.
Matematiksel Tanım ve Özellikler
Hata fonksiyonu resmi olarak tanımlanır:
Bu non-elementary integral, 0 ve değişkenin normal dağılımı ile rastgele bir değişkenin [-x, x] aralığında düşmesi olasılığı temsil eder. İşlevin birkaç önemli özelliği vardır:
- Bu garip bir işlevdir: erf(-x) = -erf(x)
- Sınırları vardır: erf(0) = 0 ve erf(∞) = 1
- Onun türevleri: (d/dx)erf(x) = (2/x)e^(-x2)
- Taylor serisi genişlemesidir: erf(x) = (2/√π)!)(n=0)^∞ ((-1) ^x^(2n+1)/((2n+1)
Diğer Fonksiyonlarla İlişki
Hata fonksiyonu birkaç önemli matematiksel fonksiyonlarla yakından ilgilidir:
Tamamlayıcı Hata Fonksiyonu
erfc(x) = 1 - erf(x)
Normal Dağıtım CDF
(x) = (1/2) (1 + erf(x/pilot2))
Q-function
Q(x) = (1/2)erfc(x/pilot2)
Hayal kırıklığı
erfi(x) = -i·erf(ix)
Numerical Computation
Hata fonksiyonu temel işlevleri açısından kapalı form ifadesi olmasa da, birkaç doğru sayısal yaklaşım var:
- Abramowitz ve Stegun Nearimation: erf(x) ≈ 1 - (a1t + a2t2 + a3t3)e^ (-x2) where t = 1/(1+px)
- Hefc(x) için sürekli genişlemeye devam et
- Taylor serisi x x değerleri için
- x x
Bilim ve Mühendislik Uygulamaları
Hata fonksiyonu birçok alanda görünür:
Probability Teori Teorisi
Normalde rastgele değişkenleri ve güven aralıklarını hesaplamada kullanılır.
İstatistikler İstatistik
hipotez testi, belirsizlik ölçüm ve regresyon analizinde görünür.
Fizik Fizik
Diffüzyon süreçleri, termodinamik ve kuantum mekaniğinde kullanılır.
Signal Processing
Dijital iletişimde önemli, hata algılaması ve düzeltme sistemleri.
Heat Transfer
Sıcaklık ve difüzyon denklemlerine çözümler genellikle hata fonksiyonunu içerir.
Finansal Matematik
Black-Scholes modelinde seçenek fiyat ve risk değerlendirme için kullanılır.
Tarihsel Gelişim
The error function was first introduced by J.W.L. Glaisher in 1871, though the study of related integrals dates back to earlier mathematicians. The name "error function" comes from its connection to the theory of measurement errors in astronomy and geodesy, where normal distributions were first applied to model observational errors.
Gelişmiş Topics
Karmaşık Analiz
Hata fonksiyonu karmaşık uçağa uzatılabilir, karmaşık hata fonksiyonunu yaratır. İşlev her yerde (holomorphic), infinity dışında hiçbir tekillik değildir.
Iterated Integrals
Tamamlayıcı hata fonksiyonunun tekrar entegrasyonları, sabit integralleri ierfc(x), i2erfc(x) vs., hangi zaman bağlı difüzyon problemlerinde uygulamaları vardır.
Faddeeva Fonksiyonu
Karmaşık hata fonksiyonu genellikle Faddeeva işlevi olarak tanımlanmaktadır: w(z) = e^ (-z2)erfc (-iz), hesaplama fizik ve spektroskopda önemli.
Biliyor musun?
Gaussian integrali.(.) d e^ (-x2) dx =. hata fonksiyonu ile yakından ilgilidir. Hata işlevinin temel kapalı bir formu olmasa da, bu kesin integralin kutup koordinatları için akıllı bir değişiklik yoluyla kanıtlanabilecek şık bir kapalı form çözümü vardır.
Hata Fonksiyonu Nedir?
Hata fonksiyonu (erf) olasılık, istatistikler ve kısmi diferansiyel denklemlerde görünen özel bir işlevdir. Gaussian fonksiyonunun integrali olarak tanımlanır ve normal dağıtım ile ilgilidir.
- Gaussian fonksiyonunun
- Normal dağıtım ile ilgili
- Olasılık teorisinde kullanılır
- İstatistiklerde Önemli
Özellikler Özellikler
Symmetry
erf(-x) = -erf(x)
Limitler
erf **** = 0, erf(∞) = 1
Tamamlayıcı
erfc(x) = 1 - erf(x)
Range Range
-1 ≤ erf(x) ≤ 1
Hata Fonksiyonu Formula Formula Formula
Hata fonksiyonu aşağıdaki integral tarafından tanımlanır:
Nerede:
- x giriş değeridir
- }} Pi (yaklaşık 3.14159)
- e Euler'in sayısı (yaklaşık 2.71828)
Uygulamalar
ProbabilityNormal Dağıtım
Normal dağıtımdaki olasılıkları hesaplamak ve güven aralıkları bulmak için kullanılır.
Fizik FizikHeat Transfer
Isı iletim problemlerini ve difüzyon denklemlerini çözmede kullanılır.
Mühendislik MühendisliğiSignal Processing
Dijital sinyal işleme ve iletişim teorisinde kullanılır.