Summation

sigma notasyonu kullanarak bir dizi miktarını hesaplamak.

Hesaplayıcı

Enter your Expression

değişken olarak 'n' kullanarak matematiksel bir ifade girin (örneğin, n^2 + 2*n + 1)

İçerik tablosu

1 Summation Notation
2 Summation Formula
3 Summasyon nasıl hesaplanır
4 Summasyon - Pratik Örnekler
Tamamlayıcı

Summation Notation

Summation Notation

Yunan mektubu sigma ( the) tarafından temsil edilen Summation notation, bir dizi sayı veya terimlerin eklenmesi için kullanılan güçlü bir matematiksel kısa eltir. Şık bir şekilde, aksi takdirde uzun ifadeler olacağını, karmaşık hesaplamaları daha yönetilebilir ve tutarlı hale getirir.

Standart Sigma Notation:
(i=m to n) f(i) = f (m) + f (m+1) + f(m+2) +... + f(n)

Summasyonun bileşenleri

  • sigma sembolü ( The)- Summasyon operasyonunu temsil eder
  • Index değişken (i)- Her terimle değişen değişken
  • Aşağı (m)- indexlemenin başlangıç değeri
  • Üst sınır (n)- indeksin son değeri
  • Fonksiyonlar veya ifade f (i)- Formül indeksin her değerine uygulanır

Summasyon Anahtar Özellikleri

Bu özellikleri anlamak hesaplamaları basitleştirmek ve summasyonları manipüle etmenize yardımcı olur:

Constant Property

(i=m to n) c = c + c +... + c = c • (n-m+1)

Nerede c sürekli.

Dağcılık

(i=m to n) [f(i) + g(i)] = Σf (i) + Σg(i)

İşlevlerin sum ayrı özetlerinin toplamına eşittir.

Scalar Multiplication

f(i=m to n) c·f(i) = c·Σ(i=m to n) f(i)

Constants summasyondan faktörlenebilir.

Index Shifting

f(i=m to n) f(i) = Σ(j=m+k to n+k) f(j-k)

Aynı miktar yedek indekslerle aynı.

Common Summation Formulas

Bu standart formüller belirli türlerini hesaplarken zaman tasarrufu sağlar:

İlk n Natural Numbers Sum

(i=1 to n) i = 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2

Squares Sum

(i=1 to n) i2 = 12 + 22 + 32 +... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6

The Sum of Cubes

(i=1 to n) i3 = 13 + 23 + 33 +... + n3 = [n(n+1)/2]2

Özel Dizi türleri

Farklı dizi türleri farklı summasyon formülüne yol açar:

Arithmetic Series

İlk kez arithmetici bir dizi ve ortak bir fark d:

(i=1 to n) [a + (i-1)d] = n/2 * [2a + (n-1)d = n/2 * (ilk terim + son dönem)

Geometric Series

İlk olarak bir ve ortak oran r ile geometrik bir dizi için:

ar(i=1 to n) ar^ (i-1) = a(1-r^n) / (1-r) r for1 için

Ne zaman< 1, the sum of an infinite geometric series is:

(i=1 to ∞) ar^ (i-1) = a/(1-r)

Gelişmiş Summasyon Teknikleri

Karmaşık sumlarla çalışırken, bu yöntemler yardımcı olabilir:

Telescoping Series

Bir telgraf serisi, genişletildiği zaman ara terimleri iptal eden bir şeydir, sadece birkaç terim bırakır. Örneğin:

(i=1 to n) [1/i - 1/(i +) = 1 - 1 / (n+1)

Çift Summation

Birden çok indeksle çalışırken (örneğin matrisler gibi):

ij(i=1 to m) a(j=1 to n) a_ij

Summasyon Uygulamaları

Summation notation, matematik ve diğer disiplinlerle ilgili yaygın uygulamalara sahiptir:

  • İstatistikler İstatistik- Hesaplamak demek, variances ve standart sapmalar
  • Calculus- Riemann integralleri tahmin etmek için özetliyor
  • Finans Finans- Bileşik ilgi ve mevcut değer hesaplamaları
  • Fizik Fizik- Toplam kuvvetler, enerjiler veya diğer fiziksel miktarlar
  • Bilgisayar Bilimi- Algorithm analizi ve hesaplama karmaşıklığı
Pro Tip:
Karmaşık summasyonları çözdüğünde, onları dağıtımlı mülkleri kullanarak daha basit parçalara ayırarak veya bilinen formüllere bakmak. Daha karmaşık ifadelere uymadan önce temel miktarlarla pratik.
Konsept

Summation Formula

Summasyon (sigma notation) terimlerin bir dizisini temsil eder. Yunan mektubu sigma ( the).

Formula:
(n=a to b) f(n) = f (a) + f(a+1) +... + f (b)
Adım Adım Adım Adım Adım Adım Adım Adım Adım Adım Adım Adım

Summasyon nasıl hesaplanır

Summasyon hesaplamak için, bu adımları takip edin:

  1. 1
    Değişken olarak 'n' kelimesini kullanarak ifadeye girin
  2. 2
    Başlangıç değerini (düşük) açın
  3. 3
    Son değeri (upper bound)
  4. 4
    Tüm terimlerin miktarını sonuna kadar hesaplamak

Örneğin, n2'nin toplamını 1 ila 5:

Örnek Hesaplama:
(n=1 to 5) n2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
Örnekler

Summasyon - Pratik Örnekler

Örnek 1 ÖrnekDoğal Sayıların Sum

1 ila 10 arasında doğal sayıları hesaplamak.

Σ(n=1 ila 10) n = 1 + 2 + 3 +... + 10 = 55

Örnek 2 ÖrnekSquares Sum

1'den 5'e kadar kare miktarını hesaplayın.

(n=1 to 5) n2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55

Örnek 3 ÖrnekArithmetic Sequence

Arithmetic 2n + 1'den 5.

(n=1 to 5) (2n + 1) = (2-31 + 1) + (2*2 + 1) + (2*5 + 1) = 35

Araçlar

Matematik Hesapları

Simplify Fractions Antilog Percent To Fraction Cube Root Sequence

Diğer araçlara mı ihtiyacınız var?

İhtiyacınız olan hesaplayıcıyı bulamaz mısınız? Bize ulaşın Diğer matematiksel hesaplayıcıları önermek.