GCD Hesap

Bir dizi sayının en büyük Ortak Divisor (GCD) hesaplayın.

Hesaplayıcı

Sayılarınızı girin

Komas (e.g., 12, 18, 24) tarafından ayrılmış sayılar girin

İçerik tablosu

1 GCD
2 GCD Formula Formula Formula Formula
3 Nasıl Hesaplamalı GCD
4 GCD - Pratik Örnekler
Kapsamlı Kılavuz

GCD'yi Anlamak: Kapsamlı Bir Rehber

En büyük Ortak Divisor nedir?

En büyük Ortak Divisor (GCD), aynı zamanda en yüksek Ortak Faktör (HCF) veya En Büyük Ortak Faktör (GCF) olarak da bilinir. Kalanı bırakmadan iki veya daha fazla sayıyı bölen en büyük pozitif tamlığı temsil eder.

Örneğin, 12 ve 18 GCD, geri kalan 12 ve 18'i bölen en büyük sayıdır. GCD asla negatif veya sıfır değildir ve iki sayı arasındaki en küçük GCD 1.

Historical Significance

GCD kavramı eski kökleri Euclid'in Elements'e geri dönüyor (yaklaşık 300 BCE). GCD bulmak için Euclidean algoritması bugün hala yaygın kullanımda olan en eski algoritmalardan biridir. Tarih boyunca, farklı kültürlerde matematikçiler - antik Yunan, Çin ve Hint uygarlıkları dahil - ortak bölücüler bulmak için gelişmiş yöntemler, bu kavramın evrensel önemini ortaya koydu.

GCD bulmak için yöntemler

İki veya daha fazla sayının GCD'sini hesaplamak için birkaç yöntem vardır:

1. Euclidean Algorithm

This efficient method is based on the principle that if a and b are two positive integers with a > b, then: GCD(a,b) = GCD(b, a mod b), where "a mod b" represents the remainder when a is divided by b. The algorithm continues recursively until the remainder becomes zero, at which point the GCD is the last non-zero remainder.

Örnek: GCD(48, 18)
48 = 18 × 2 + 12
18 = 12 × 1 + 6
12 = 6 × 2 + 0
Kalanlar şimdi 0 olduğundan, GCD 6.

2. Prime Factorization Yöntem Yöntemi

Bu yöntemde, her sayı asal faktörlerin bir ürünü olarak ifade edilir. GCD, ortak asal faktörlerin ürünü, her biri iki numarada göründüğü minimum güce yükseltti.

Örnek: GCD(48, 180)
48 = 24 × 3
180 = 22 × 32 × 5
Ortak faktörler: 2 22 × 3 = 12
Bu nedenle, GCD (48, 180) = 12

3. Consecutive Division Method

Ayrıca uzun bölünme yöntemi olarak da bilinir, bu yaklaşım daha küçük bir sayıyı bölmeyi içerir, sonra geri kalan divizöre bölünür ve geri kalana kadar devam eder.

GCD Özellikleri

  • GCD(a,b) = GCD (b,a) - Sayıların düzeni önemli değil
  • GCD(a,0) = |a| - Herhangi bir sayının GCD'si, sayının mutlak değeridir
  • GCD (a,a) = |a| - Bir sayının GCD'si, sayının mutlak değeridir
  • GCD(a,1) = 1 - Herhangi bir sayının GCD ve 1'i her zaman 1
  • Bir bölme bile b, sonra GCD (a,b) = |a|
  • GCD (a,b) × LCM (a,b) = |a × b| - GCD ve LCM ürünü, sayıların sayısını eşittir

Gerçek Dünya Uygulamaları

GCD matematik ötesinde çok sayıda pratik uygulama vardır:

Kriptografi

GCD, güvenli veri iletimi için yaygın olarak kullanılan RSA gibi algoritmaların önemli bir rol oynamaktadır. RSA, büyük asal sayıları bulmakta ve GCD belirli anahtar değerlerin ortak olmasını sağlamak için kullanılır.

Kesir ve Oranlar

GCD, GCD'leri tarafından hem sayısal hem denominator'u bölmek suretiyle en düşük oranlarına basit yardımcı olur.

Mühendislik ve Tasarım

Desenler tasarlarken, karolar veya dişliler, GCD mümkün olan en büyük birim boyutunu veya birlikte çalışacak diş sayısını belirlemeye yardımcı olur.

Kaynak Allocation

GCD, kaynakları geri kalanlarla eşit gruplara bölmeye yardımcı oluyor, insanlar arasındaki öğeleri dağıtmak veya programları organize etmek gibi.

LCM'ye bağlantı

GCD, Lest Common Multi (LCM) ile yakından ilişkilidir. Herhangi bir iki sayı için, GCD ve LCM formülü ile bağlantılıdır:

GCD (a,b) × LCM (a,b) = |a × b|

Bu ilişki, LCM'yi bir kez GCD'yi tanıdığımızı ve tersi de kolayca hesaplamamızı sağlar.

Konsept

GCD Formula Formula Formula Formula

İki veya daha fazla sayının en büyük Common Divisor (GCD) geri kalan tüm sayıları bölen en büyük pozitif tamsayıdır.

Formula:
GCD(a,b) = GCD (b, bir mod b) bir mod b, b b b'nin b'nin b tarafından bölünmüş olduğu zaman geri kalanlar
Adım Adım Adım Adım Adım Adım Adım Adım Adım Adım Adım Adım

Nasıl Hesaplamalı GCD

GCD'yi hesaplamak için, bu adımları izleyin:

  1. 1
    Her sayının asal faktörizasyonu bul
  2. 2
    Her ortak asal faktörün en düşük gücünü alın
  3. 3
    Çoğunlukla bu asal faktörler birlikte

Örneğin, 12 ve 18 GCD bulmak için:

Örnek Hesaplama:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
GCD = 2 × 3 = 6
Örnekler

GCD - Pratik Örnekler

Örnek 1 ÖrnekSimpling Fractions

24/36'yı basitleştirmek için, 24 ve 36 GCD'yi bulmamız gerekiyor.

GCD(24, 36) = 12
24/36 = (24÷12)/(36÷12) = 2/3

Örnek 2 ÖrnekMaddeleri eşit olarak

Bir öğretmen 48 kalem ve 36 silici vardır. eşit sayıda kalem ve silici alabilecek en büyük öğrenci sayısı nedir?

GCD(48, 36) = 12 öğrenci
Her öğrenci 4 kalem alır ve 3 silinir

Örnek 3 ÖrnekÖlmüş Desenler

İki dişliler sırasıyla 24 ve 36 dişe sahiptir. Birçok rotasyon aynı pozisyonda nasıl bir araya gelecektir?

GCD(24, 36) = 12 diş
İlk dişli: 12/24 = 1/2 rotasyon
İkinci dişli: 12/36 = 1/3 rotasyon

Araçlar

Matematik Hesapları

Fraction To Decimal Logarithm Lcd Lcm Significant Figures

Diğer araçlara mı ihtiyacınız var?

İhtiyacınız olan hesaplayıcıyı bulamaz mısınız? Bize ulaşın Diğer matematiksel hesaplayıcıları önermek.