Kalkulator podsumowań
Obliczyć sumę sekwencji za pomocą notacji sigma.
Wprowadź swoje wyrażenie
Spis treści
Zrozumienie notacji summacyjnej
Wprowadzenie do notowania Summation
Notacja summation, reprezentowana przez grecką literę sigma (∞), jest potężnym matematycznym skrótem używanym do wyrażenia dodawania sekwencji liczb lub terminów. Notacja elegancko kondensuje to, co w przeciwnym razie byłoby długie wyrażenia, czyniąc skomplikowane obliczenia bardziej wykonalne i zwięzłe.
Elementy notowania Summation
- Symbol sigmaName- Reprezentuje działanie podsumowania
- Zmienna indeksowa (i)- Zmienna, która zmienia się z każdym terminem
- Dolna granica (m)- Wartość wyjściowa indeksu
- Górna granica (n)- Wartość końcowa indeksu
- Funkcja lub wyrażenie f (i)- Wzór stosowany do każdej wartości indeksu
Kluczowe właściwości podsumowania
Zrozumienie tych właściwości pomaga uprościć obliczenia i manipulować podsumowaniami:
Nieruchomości stałe
■ (i = m do n) c = c + c +... + c = c · (n-m + 1)
Gdzie c jest stałą.
Nieruchomości dystrybucyjne
■ (i = m do n) [f (i) + g (i)] = Σf (i) + Σg (i)
Suma funkcji równa się sumie ich oddzielnych sum.
Mnożenie skalarne
■ (i = m do n) c · f (i) = c · ∞ (i = m do n) f (i)
Stałe mogą być uwzględnione w podsumowaniu.
Wskaźnik przesunięcia
■ (i = m do n) f (i) = ∞ (j = m + k do n + k) f (j- k)
Ta sama suma ze zmienionymi indeksami.
Wspólne formularze podsumowań
Te standardowe formuły oszczędzają czas przy obliczaniu konkretnych rodzajów sum:
Suma pierwszych n liczb naturalnych
■ (i = 1 do n) i = 1 + 2 + 3 +... + n = n (n + 1) / 2
Suma kwadratów
■ (i = 1 do n) i ² = 1 ² + 2 ² + 3 ² +... + n ² = n (n + 1) (2n + 1) / 6
Suma kostek
■ (i = 1 do n) i ³ = 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ +... + n ³ = [n (n + 1) / 2] ²
Typy serii specjalnych
Różne rodzaje sekwencji prowadzą do różnych formuł sumowania:
Seria arytmetyczna
Dla sekwencji arytmetycznej z pierwszym wyrażeniem a i wspólną różnicą d:
■ (i = 1 do n) [a + (i-1) d] = n / 2 * [2a + (n-1) d] = n / 2 * (pierwszy termin + ostatni termin)
Seria geometryczna
Dla sekwencji geometrycznej z pierwszym określeniem a i wspólnym stosunkiem r:
■ (i = 1 do n) ar ^ (i-1) = a (1- r ^ n) / (1- r) dla r ^ 1
Kiedy jest 124; r jest 124< 1, the sum of an infinite geometric series is:
γ (i = 1 do ∞) ar ^ (i-1) = a / (1- r)
Zaawansowane techniki Summation
Podczas pracy z skomplikowanymi podsumowaniami, metody te mogą być pomocne:
Seria teleskopów
Seria teleskopów jest taka, w której terminy pośrednie skracają się po rozszerzeniu, pozostawiając tylko kilka terminów. Na przykład:
■ (i = 1 do n) [1 / i - 1 / (i + 1)] = 1 - 1 / (n + 1)
Podwójne podsumowanie
Podczas pracy z wieloma indeksami (jak w macierzach):
■ (i = 1 do m) ∞ (j = 1 do n) a _ ij
Wnioski o podsumowanie
Notacja podsumowania ma szerokie zastosowanie w matematyce i innych dyscyplinach:
- Statystyki- Obliczanie środków, odchyleń i odchyleń standardowych
- Kalkulator- Riemann sum dla przybliżania całek
- Finansowanie- Obliczenia odsetek złożonych i wartości bieżącej
- Fizyka- Obliczanie całkowitej siły, energii lub innych ilości fizycznych
- Informatyka- Analiza algorytmu i złożoność obliczeniowa
Wzór podsumowania
sumowanie (notacja sigma) reprezentuje sumę sekwencji terminów. Jest oznaczona grecką literą sigma (∞).
Jak obliczyć summation
Aby obliczyć podsumowanie, należy wykonać następujące czynności:
-
1Wprowadź wyrażenie używając 'n' jako zmiennej
-
2Określić wartość początkową (dolna granica)
-
3Określić wartość końcową (górna granica)
-
4Oblicz sumę wszystkich terminów od początku do końca
Na przykład, aby znaleźć sumę n ² od 1 do 5:
Summation - Przykłady praktyczne
Przykład 1Suma liczb naturalnych
Obliczyć sumę liczb naturalnych od 1 do 10.
γ (n = 1 do 10) n = 1 + 2 + 3 +... + 10 = 55
Przykład 2Suma kwadratów
Obliczyć sumę kwadratów od 1 do 5.
γ (n = 1 do 5) n ² = 1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + 5 ² = 55
Przykład 3Sekwencja arytmetyczna
Obliczyć sumę sekwencji arytmetycznej 2n + 1 od 1 do 5.
■ (n = 1 do 5) (2n + 1) = (2 * 1 + 1) + (2 * 2 + 1) +... + (2 * 5 + 1) = 35