Harmonijny średni Kalkulator

Czym jest średnia harmoniczna?

Średnia harmoniczna jest jednym z trzech środków Pitagorasa, obok średniej arytmetycznej i geometrycznej. Jest zdefiniowana jako odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności zestawu liczb dodatnich.

Podczas gdy średnia arytmetyczna daje równą wagę każdej wartości, średnia harmoniczna daje równą wagę każdej jednostce wartości. To sprawia, że jest to szczególnie przydatne dla średnich wskaźników i współczynników.

Definicja matematyczna

Dla zestawu liczb dodatnich x, x,..., xides, średnia harmoniczna (HM) jest obliczana jako:

Przypadek szczególny: Harmoniczna średnia dwóch liczb

Dla dwóch liczb a i b, średnia harmoniczna może być uproszczona do:

Związek z innymi środkami

Dla danego zestawu liczb dodatnich (z co najmniej jedną parą nierównych wartości) trzy Pitagoreańskie środki zawsze podążają za tą nierównością:

Dla dwóch liczb dodatnich środki te są związane z:

Właściwości średniej harmonicznej

• Średnia harmoniczna jest zawsze mniejsza lub równa średniej geometrycznej
• Średnia harmoniczna jest pod dużym wpływem małych wartości w zbiorze danych
• Wszystkie wartości muszą być dodatnie (niezerowe) dla średniej harmonicznej do obliczenia
• Jeżeli wszystkie wartości są równe, to średnia harmoniczna równa się średnia arytmetyczna i średnia geometryczna
• Średnia harmoniczna jest odwrotna od średniej arytmetycznej odwrotności

Zastosowanie średniej harmonicznej

Średnia harmoniczna ma wiele zastosowań praktycznych w różnych dziedzinach:

1. Obliczanie średniej prędkości:Podczas podróży tą samą odległością przy różnych prędkościach średnia prędkość jest średnią harmoniczną tych prędkości.
2. Maszynownia elektryczna:Obliczanie równoważnego oporu rezystorów połączonych równolegle.
3. Fizyka:Określenie średniej gęstości i innych właściwości fizycznych.
4. Finanse:Obliczanie średnich wielokrotności, takich jak stosunek zysku do ceny (P / E).
5. Nauka maszynowa:Obliczanie wyniku F1 (harmoniczna średnia precyzji i przypomnienia) w problemach z klasyfikacją.
6. Hydrologia:Nakładanie wartości przewodnictwa hydraulicznego dla przepływu prostopadłego do warstw.

Kontekst historyczny

The concept of harmonic mean dates back to ancient mathematics. The term "harmonic" comes from the field of music, where the harmonic mean was used to describe musical intervals. The Pythagoreans discovered that if a string is divided in the ratio a:b, the note produced is a harmonic mean of the notes produced by strings of lengths a and b.

Numery harmoniczne

Pokrewną koncepcją jest liczba harmoniczna oznaczona jako H (n), która jest sumą wzajemności pierwszych n liczb naturalnych:

Liczba harmoniczna jest związana ze średnią harmoniczną pierwszych n dodatnich liczb całkowitych:

Związek ten pokazuje, że średnia harmoniczna pierwszych n dodatnich liczb całkowitych jest n podzielona przez n.

Średnia harmoniczna jest obliczana jako odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności liczb. Jest to szczególnie przydatne do obliczania średnich stawek, zwłaszcza w przypadku wskaźników zmian.

Aby obliczyć średnią harmoniczną, wykonaj następujące czynności:

1. 1
   Weź odwrotność każdej liczby (1 / x)
2. 2
   Znajdź średnią arytmetyczną tych odwrotnych
3. 3
   Weź odwrotność wyniku

Na przykład, znaleźć harmoniczną średnią z 2, 4, 8: