Arctan Calculator
Bereken de inverse raaklijn (arctan) van elk reëel getal.
Voer uw waarde in
Inhoudsopgave
Uitgebreide gids voor Arctan
Inleiding tot Arctan
De arctan (arctangent) functie, ook aangeduid als tan-1of atan, is een van de inverse trigonometrische functies die een cruciale rol speelt in de wiskunde, natuurkunde, techniek en diverse andere gebieden. Deze uitgebreide gids onderzoekt de eigenschappen, toepassingen en wiskundige betekenis van de arctanfunctie.
Wiskundige definitie
Arctangent wordt gedefinieerd als de omgekeerde functie van de raaklijn. Voor een reëel getal x, arctan(x) geeft de hoek θ zodanig dat tan(θ) = x, met het resultaat beperkt tot het bereik (-π/2, π/2) radialen of (-90°, 90°).
- Domein: Alle reële getallen (-∞, ∞)
- Bereik: (-π/2, π/2) radialen of (-90°, 90°)
- arctan is een vreemde functie: arctan(-x) = -arctan(x)
- Als x oneindig nadert, nadert arctan(x) π/2 (90°)
- Als x de negatieve oneindigheid benadert, komt arctan(x) -π/2 (90°)
De grafische vertegenwoordiging
De grafiek van y = arctan(x) heeft de volgende kenmerken:
- Het gaat door de oorsprong (0,0)
- Het neemt voortdurend toe
- Het heeft horizontale asymptoten bij y = π/2 en y = -π/2 (of y = 90° en y = -90°)
- Het is symmetrisch over de oorsprong
Belangrijke identiteiten en relaties
| Identiteit | Formule |
|---|---|
| Aanvullingsformule | arctan(x) + arctan(y) = arctan((x+y)/(1-xy))) indien xy< 1 |
| Aftrekformule | arctan(x) - arctan(y) = arctan((x-y)/(1+xy)) |
| Dubbele hoek | arctan(2x/(1-x2)) |
| Afgeleid | d/dx[arctan(x)] = 1/(1+x2) |
| Integraal | ∫arctan(x)dx = x·arctan(x) - (1/2)·ln(1+x2) + C |
Geavanceerde toepassingen
1. Techniek en natuurkunde
In techniek en natuurkunde wordt arctan vaak gebruikt voor:
- Signaalverwerking om fasehoeken te berekenen
- Elektrotechniek voor het analyseren van impedantie en reactie in wisselstroomkringen
- Mechanica om hoeken in krachtdiagrammen te berekenen
- Optie om refractie- en reflectiehoeken te bepalen
2. Computerwetenschappen
In computergraphics en robotica wordt de functie atan2(y,x) (een variatie van arctan) gebruikt om:
- Converteren van Cartesian naar poolcoördinaten
- Bereken rotatiehoeken voor objecten in 2D- en 3D-ruimtes
- Richting en koers bepalen in navigatiesystemen
3. Wiskunde en Calculus
Arctan verschijnt in vele wiskundige contexten:
- Integratietechnieken voor rationele functies
- Serie uitbreidingen en benaderingen
- Oplossingen voor differentiële vergelijkingen
- De beroemde serie Gregory-Leibniz: π/4 = arctan(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
Numerieke berekening Methoden
De arctanfunctie kan worden berekend met verschillende methoden:
Praktische voorbeelden
Voorbeeld 1: Een hoek vinden
Als een rechthoekige driehoek zijden heeft van lengte 3 (tegenover) en 4 (nabij), kan de hoek θ worden gevonden met behulp van:
θ = arctan(opposite/adjacent) = arctan(3/4) ≈ 36,87°
Voorbeeld 2: Navigatie
Om de lager tussen twee GPS-coördinaten (x1,y1) en (x2,y2) te bepalen:
lager = arctan((y2-y1)/(x2-x1))
Dit geeft de hoek ten opzichte van het oosten.
Historische context
De arctan functie is eeuwenlang bestudeerd. In 1674 ontdekte James Gregory de serieuitbreiding voor arctan, die later een cruciale rol speelde bij de berekening van π. De functie werd steeds belangrijker in calculus en engineering naarmate deze velden zich ontwikkelden, vooral door de komst van complexe analyse en signaalverwerking in de 19e en 20e eeuw.
Conclusie
De arctan functie is een krachtige wiskundige tool met brede toepassingen over wetenschap, techniek en wiskunde. De unieke eigenschappen maken het van onschatbare waarde voor het oplossen van problemen met hoeken, coördinaten en trigonometrische relaties. Het begrijpen van arctan is essentieel voor iedereen die op deze gebieden werkt, van ingenieurs die faseverschuivingen berekenen tot programmeurs die computer grafische algoritmen implementeren.
Wat is Arctan?
De arctanfunctie (ook wel inverse raaklijn genoemd) is het omgekeerde van de tangensfunctie. Het heeft een echt getal nodig en geeft de hoek terug waarvan de raaklijn die waarde is.
Arctan Formule
De arctanfunctie kan worden berekend met de volgende formule:
Gemeenschappelijke Arctan-waarden
Bijzondere waarden
- arctan(0) = 0°
- arctan(0.5774) = 30°
- arctan(1) = 45°
- arctan(1.7321) = 60°
- arctan(∞) = 90°
- arctan(-∞) = -90°
Eigenschappen
- Domein
- Bereik: (90°, 90°) of (-π/2, π/2)
- arctan(-x) = -arctan(x)
- arctan(tan(θ)) = θ voor -90°< θ < 90°
Toepassingen van Arctan
NatuurkundeProjectieve beweging
Arctan wordt gebruikt om lanceringshoeken en trajecten in projectiele beweging te berekenen.
TechniekControlesystemen
Arctan-functies worden gebruikt in controlesystemen om fasehoeken en systeemresponsen te berekenen.
NavigatieGPS en locatie
Arctan wordt gebruikt in GPS-systemen om lagers en richtingen te berekenen.