Foutfunctiecalculator
Bereken de foutfunctie (erf) en complementaire foutfunctie (erfc) voor elk echt getal.
Foutfunctie berekenen
Inhoudsopgave
Uitgebreide gids voor foutfuncties
De foutfunctie (erf) is een fundamentele wiskundige speciale functie met diepgaande implicaties over meerdere disciplines. In de 19e eeuw geïntroduceerd door wiskundigen die waarschijnlijkheidstheorie bestuderen, is het sindsdien een essentieel instrument geworden in statistiek, natuurkunde, techniek en toegepaste wiskunde.
Wiskundige definitie en eigenschappen
De foutfunctie wordt formeel gedefinieerd als:
Deze niet-elementaire integraal vertegenwoordigt de kans dat een willekeurige variabele met een normale verdeling van gemiddelde 0 en variantie 1/2 valt in het bereik [-x, x]. De functie heeft verschillende opmerkelijke eigenschappen:
- Het is een vreemde functie: erf(-x) = -erf(x)
- Het heeft grenzen: erf(0) = 0 en erf(∞) = 1
- Het derivaat is: (d/dx)erf(x) = (2/√π)e^(-x2)
- De Taylor serie uitbreiding is: erf(x) = (2/√π) Σ(n=0)^∞ ((-1)^n·x^(2n+1))/(2n+1)·n!)
Relatie met andere functies
De foutfunctie is nauw verbonden met verschillende belangrijke wiskundige functies:
Aanvullende foutfunctie
erfc(x) = 1 - erf(x)
Normale distributie CDF
Φ(x) = (1/2)(1 + erf(x/√2))
Q-functie
Q(x) = (1/2)erfc(x/√2)
Verbeeldingsfoutfunctie
erfi(x) = -i·erf(ix)
Numerieke berekening
Hoewel de foutfunctie geen gesloten expressie heeft in termen van elementaire functies, bestaan er verschillende nauwkeurige numerieke benaderingen:
- Abramowitz en Stegun benadering: erf(x) ≈ 1 - (a1t + a2t2 + a3t3)e^(-x2) waarbij t = 1/(1+px)
- Voortgezette fractieuitbreiding voor erfc(x)
- Taylor serie voor kleine waarden van x
- Asymptotische expansie voor grote waarden van x
Toepassingen in wetenschap en techniek
De foutfunctie verschijnt in tal van velden:
Waarschijnlijkheid Theorie
Gebruikt bij het berekenen van waarschijnlijkheden voor normaal gedistribueerde willekeurige variabelen en betrouwbaarheidsintervallen.
Statistieken
Verschijnt in hypothese testen, onzekerheid kwantificering, en regressie analyse.
Natuurkunde
Gebruikt in diffusieprocessen, thermodynamica en kwantummechanica.
Signaalverwerking
Belangrijk in digitale communicatie, foutdetectie en correctiesystemen.
Warmteoverdracht
Oplossingen voor warmte- en diffusievergelijkingen omvatten vaak de foutfunctie.
Financiële wiskunde
Gebruikt in Black-Scholes model voor optie prijsstelling en risicobeoordeling.
Historische ontwikkeling
The error function was first introduced by J.W.L. Glaisher in 1871, though the study of related integrals dates back to earlier mathematicians. The name "error function" comes from its connection to the theory of measurement errors in astronomy and geodesy, where normal distributions were first applied to model observational errors.
Geavanceerde onderwerpen
Complexe analyse
De foutfunctie kan worden uitgebreid tot het complexe vlak, waardoor de complexe foutfunctie wordt gecreëerd. De functie is geheel (holomorf overal), zonder singulariteiten behalve bij oneindigheid.
Iterated Integrals
Herhaalde integraties van de aanvullende foutfunctie produceren de iterated integraals ierfc(x), i2erfc(x), enz., die toepassingen hebben in tijdafhankelijke diffusieproblemen.
Faddeeva-functie
De complexe foutfunctie wordt meestal besproken in zijn geschaalde vorm als de Faddeeva functie: w(z) = e^(-z2)erfc(-iz), belangrijk in de computerfysica en spectroscopie.
Wist je dat?
De Gaussiaanse integraal ∫(−∞)^∞ e^(-x2) dx = √π is nauw gerelateerd aan de foutfunctie. Hoewel de foutfunctie geen elementaire gesloten vorm heeft, heeft deze definitieve integraal een elegante gesloten vormoplossing die bewezen kan worden door een slimme verandering in poolcoördinaten.
Wat is Foutfunctie?
De foutfunctie (erf) is een speciale functie die verschijnt in waarschijnlijkheid, statistieken en partiële differentiaalvergelijkingen. Het is gedefinieerd als de integraal van de Gaussiaanse functie en is gerelateerd aan de normale verdeling.
- Integraal van Gaussiaanse functie
- Verwant aan normale distributie
- Gebruikt in waarschijnlijkheidstheorie
- Belangrijk in de statistieken
Eigenschappen
Symmetrie
erf(-x) = -erf(x)
Grenswaarden
erf(0) = 0, erf(∞) = 1
Aanvullende
erfc(x) = 1 - erf(x)
Bereik
-1 ≤ erf(x) ≤ 1
Foutfunctie Formule
De foutfunctie wordt gedefinieerd door de volgende integraal:
waarbij:
- x is de invoerwaarde
- π is pi (ongeveer 3.14159)
- e is Euler's nummer (ongeveer 2.71828)
Aanvragen
WaarschijnlijkheidNormale verdeling
Gebruikt om waarschijnlijkheden te berekenen in normale distributie en om betrouwbaarheidsintervallen te vinden.
NatuurkundeWarmteoverdracht
Gebruikt bij het oplossen van warmtegeleidingsproblemen en diffusievergelijkingen.
TechniekSignaalverwerking
Gebruikt in digitale signaalverwerking en communicatietheorie.