Van der Waals Calculator
Bereken de gaseigenschappen met behulp van de toestandsvergelijking van Van der Waals.
Voer uw waarden in
Inhoudsopgave
De vergelijking van Van der Waal begrijpen
Inleiding tot Real Gassen
De ideale gaswet (PV = nRT) dient als een fundamentele vergelijking in de thermodynamica, maar het maakt verschillende eenvoudiger veronderstellingen die niet gelden voor echte gassen, vooral bij hoge druk of lage temperaturen. In 1873 stelde de Nederlandse natuurkundige Johannes Diderik van der Waals een nauwkeuriger vergelijking voor van de staat die het gedrag van echte gassen verklaart.
Historische achtergrond
Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) ontwikkelde zijn vergelijking als onderdeel van zijn proefschrift aan de Universiteit Leiden. Zijn baanbrekende werk leverde hem in 1910 de Nobelprijs voor de Natuurkunde op. Van der Waals erkende dat de afwijkingen van ideaal gasgedrag te wijten waren aan twee belangrijke factoren: de eindige grootte van gasmoleculen en de aantrekkelijke krachten ertussen.
Beperkingen van de ideale gaswet
De ideale gaswet gaat ervan uit dat:
- Gasmoleculen hebben een verwaarloosbaar volume
- Er zijn geen aantrekkelijke of weerzinwekkende krachten tussen moleculen
- Alle botsingen tussen moleculen zijn perfect elastisch
- Moleculen bewegen willekeurig zonder voorkeursrichting
Echte gassen wijken af van deze veronderstellingen, vooral onder omstandigheden van hoge druk of lage temperatuur waar intermoleculaire krachten significant worden.
De Van der Waalcorrecties
De Van der Waals vergelijking introduceert twee correctiefactoren aan de ideale gaswet:
1. Correctie voor Moleculaire Volume
De parameterbis verantwoordelijk voor het eindige volume van gasmoleculen. Het werkelijke volume van de moleculen is kleiner dan het containervolume door een hoeveelheid evenredig met het aantal moleculen. Deze correctie vervangt V met (V - nb) in de vergelijking.
2. Correctie voor intermoleculaire krachten
De parameteraverantwoordelijk voor de aantrekkelijke krachten tussen moleculen. Deze krachten verminderen de druk van het gas op de wanden van de container. Deze correctie voegt de term a(n/V)2 toe aan de druk.
Wiskundige afleidingen
Te beginnen met de ideale gaswet: PV = nRT
Toepassing van de correcties:
- V vervangen door (V - nb) om het moleculair volume te berekenen
- P vervangen door (P + a(n/V)2) om rekening te houden met intermoleculaire krachten
Dit geeft ons de vergelijking van Van der Waals:
Grafische vergelijking: Ideaal vs. Real Gas
Onderstaande grafiek illustreert het verschil tussen de ideale gaswet en de vergelijking van Van der Waals voor een typisch gas. De isothermen (curves van constante temperatuur) laten zien hoe druk varieert met volume.
Figuur: Vergelijking van druk-volume relaties voor ideale gas (blauwe gestreepte lijnen) en echt gas beschreven door de Van der Waals vergelijking (rode vaste lijnen) bij verschillende temperaturen. Let op het kritieke punt en het transitiegebied in de vloeibare-gasfase.
Belangrijkste opmerkingen uit de grafiek:
- Bij hoge temperaturen (bovencurves) gedragen beide modellen zich op dezelfde manier
- Bij lagere temperaturen vertoont de vergelijking van Van der Waals significante afwijkingen van de ideale gaswet
- Onder de kritische temperatuur (Tc), de Van der Waals isothermen vertonen oscillaties die overeenkomen met faseovergangen tussen vloeibare en gastoestanden
- Het kritische punt geeft de temperatuur en druk weer waarboven het onderscheid tussen vloeibare en gasfasen verdwijnt
Kritieke punten en faseovergangen
Een van de belangrijkste prestaties van de Van der Waals vergelijking is het vermogen om het bestaan van kritieke punten te voorspellen en faseovergangen tussen gas- en vloeibare toestanden te beschrijven. Op het kritische punt, gedefinieerd door kritische temperatuur (Tc), kritische druk (Pc), en kritisch volume (Vc), verdwijnt het onderscheid tussen vloeibare en gasfasen.
De kritische constanten kunnen worden uitgedrukt in termen van de Van der Waals parameters:
- Kritische temperatuur: Tc = 8a/27Rb
- Kritische druk: Pc = a/27b²
- Kritisch volume: Vc = 3nb
Van der Waals Constanten
Hieronder staat een tabel van Van der Waals constanten voor gewone gassen. Deze waarden kunnen gebruikt worden in berekeningen om echt gasgedrag te voorspellen.
| Gas | a (Pa.m6/mol2) | b (10−5 m3/mol) | Kritische temperatuur |
|---|---|---|---|
| Waterstof (H2) | 0.0247 | 2.661 | 33.2 |
| Helium (He) | 0.00346 | 2.38 | 5.2 |
| Stikstof (N2) | 0.1408 | 3.913 | 126.2 |
| Zuurstof (O2) | 0.1382 | 3.183 | 154.6 |
| Kooldioxide (CO2) | 0.3640 | 4.267 | 304.2 |
| Ammoniak (NH3) | 0.4225 | 3.707 | 405.5 |
| Water (H2O) | 0.5537 | 3.049 | 647.1 |
| Methaan (CH4) | 0.2283 | 4.278 | 190.6 |
Toepassingen in de moderne wetenschap
De vergelijking van Van der Waals blijft relevant in de moderne wetenschap en heeft toepassingen in:
- Chemische engineering en ontwerp
- Koel- en airconditioningsystemen
- Verwerking en vervoer van aardgas
- Superkritische vloeistoftoepassingen
- Thermodynamische modellering van complexe systemen
Beperkingen van de vergelijking van Van der Waals
De vergelijking van Van der Waals biedt een betere benadering dan de ideale gaswet, maar heeft nog steeds beperkingen:
- Het wordt minder nauwkeurig bij extreem hoge druk
- Het modeleert niet alle faseovergangen
- De constanten a en b worden geacht onafhankelijk te zijn van temperatuur en druk, wat niet strikt waar is
- Meer complexe vergelijkingen van toestand (zoals de Redlich-Kwong of Peng-Robinson vergelijkingen) kunnen een betere nauwkeurigheid bieden voor specifieke toepassingen
Verlaagde vorm en overeenkomstige staten
De vergelijking van Van der Waals kan uitgedrukt worden in gereduceerde eigenschappen (Pr = P/Pc, Vr = V/Vc, Tr = T/Tc), dat leidt tot het beginsel van de overeenkomstige staten. Dit principe suggereert dat alle gassen zich op dezelfde wijze gedragen wanneer ze worden vergeleken met dezelfde verminderde omstandigheden, wat belangrijke implicaties heeft voor thermodynamische modellering.
Sleutel Inzicht
De vergelijking van Van der Waals overbrugt de kloof tussen ideaal gasgedrag en de complexe realiteit van moleculaire interacties. Zijn elegante formulering vangt essentiële fysische fenomenen en blijft wiskundigtraceerbaar, waardoor het een van de belangrijkste vergelijkingen in de geschiedenis van de thermodynamica.
Van der Waals-vergelijking
De vergelijking van Van der Waals is een aangepaste versie van de ideale gaswet die de eindige grootte van de moleculen en de aantrekkelijke krachten tussen hen verklaart.
waarbij:
- P = Druk (Pa)
- V = Volume (m3)
- n = Aantal mol
- R = gasconstante (8.314 J/(mol·K))
- T = Temperatuur (K)
- a = Van der Waals constante a (Pa·m6/mol2)
- b = Van der Waals constante b (m3/mol)
Hoe te berekenen
Om te berekenen met behulp van de Van der Waals vergelijking, volg deze stappen:
-
1Voer de druk, het volume, het aantal mollen en de temperatuur in
-
2Voer de Van der Waals constanten a en b in voor uw gas
-
3De rekenmachine zal controleren of de waarden voldoen aan de vergelijking
Van der Waals Constanten
De Van der Waals constanten a en b zijn specifiek voor elk gas en zorgen voor:
- a: Aantrekkelijke krachten tussen moleculen
- b: Volume bezet door de moleculen
Voor stikstof (N2):
- a = 0,1378 Pa·m6/mol2
- b = 0,03183 m3/mol
Praktische voorbeelden
Voorbeeld 1Stikstofgas
Bereken de druk van 1 mol stikstofgas bij 273.15K in een 0,0224 m3 container met behulp van de Van der Waals vergelijking.
Gegeven waarden:
- n = 1 mol
- V = 0.0224 m³
- T = 273.15 K
- a = 0,1408 Pa.m6/mol2unit synonyms for matching user input
- b = 3,913 × 10−5 m3/mol
- R = 8,314 J/(mol·K)
Noot: Volume (0.0224 m3) > n×b (3.913 × 10−5 m3), zodat dit voorbeeld voldoet aan de volumebeperking.
Met de Van der Waals vergelijking:
P = (nRT/(V-nb)) - (a(n/V)2)
P = (1 × 8.314 × 273.15/(0.0224-1×3.913×10⁻⁵)) - (0.1408(1/0.0224)²)
P ≈ 101325 Pa (1 atm)
Voorbeeld 2Kooldioxide
Bereken de temperatuur voor 2 mol kooldioxide op 150000 Pa in een container van 0,05 m3.
Gegeven waarden:
- P = 150000 Pa
- V = 0.05 m³
- n = 2 mol
- a = 0,364 Pa·m6/mol2
- b = 4,29 × 10−5 m3/mol
- R = 8,314 J/(mol·K)
Noot: Volume (0,05 m3) > n×b (2 × 4,29 × 10−5 = 8,58 × 10−5 m3), dus dit voorbeeld voldoet aan de volumebeperking.
Met behulp van de vergelijking van Van der Waals herschikt voor temperatuur:
T = ((P + a(n/V)2)(V - nb)))/(nR)
T = ((150000 + 0.364(2/0.05)²)(0.05 - 2×4.29×10⁻⁵))/(2×8.314)
T ≈ 450.2 K
Voorbeeld 3Zuurstofgas
Bereken het volume voor 0,5 mol zuurstof op 100000 Pa en 300 K.
Gegeven waarden:
- P = 100000 Pa
- n = 0,5 mol
- T = 300 K
- a = 0,1382 Pa·m6/mol2
- b = 3,183 × 10−5 m3/mol
- R = 8,314 J/(mol·K)
Opmerking: Om aan de volumebeperking te voldoen, moeten we V zo vinden dat V > n×b = 0,5 × 3.183 × 10−5 = 1,59 × 10−5 m3.
Met behulp van de vergelijking van Van der Waals voor volume (interpretatief).
Het berekende volume is ongeveer 0,0125 m3, wat > n×b is.
Voorbeeld 4Waterstofgas
Bereken het aantal mol waterstof op 120000 Pa, 350 K in een volume van 0,01 m3.
Gegeven waarden:
- P = 120000 Pa
- V = 0.01 m³
- T = 350 K
- a = 0,0247 Pa.m6/mol2unit synonyms for matching user input
- b = 2,661 × 10−5 m3/mol
- R = 8,314 J/(mol·K)
Opmerking: Om aan de volumebeperking te voldoen, moeten we n zo vinden dat n< V/b = 0.01/2.661×10⁻⁵ = 375.8 mol.
De vergelijking van Van der Waals gebruiken om mollen op te lossen (iteratief).
Het berekende aantal mol is ongeveer 0,42 mol, dat aan n< V/b.