エンドポイント計算機

エンドポイントの紹介

Euclidean の幾何学では、エンドポイントは行セグメントの境界を定義する基本的な概念です。 両方の方向に制限なしで伸びる無限の線とは異なり、ラインセグメントは、明確な開始点と終了点を持つラインの有限部分です。これらはエンドポイントと呼ばれています。

座標幾何学のエンドポイント

座標の幾何学では、終点はカルチェシアン平面の順序の組(x、y)として表されます。 ラインセグメントは、その2つのエンドポイントによって完全に定義されます。 これらの座標は、検出距離、斜面、中間点、未知のエンドポイントの解決など、さまざまな計算を実行できます。

エンドポイントとミッドポイントの関係

ラインセグメントの中間点は、2つのエンドポイント間で正確にハーフウェイです。 1つのエンドポイントと中間点を知っている場合、エンドポイントの公式を使用して、他のエンドポイントを決定できます。 この関係は多くの幾何学的な問題および適用で重要である。

エンドポイントの数学的特性

エンドポイントには、いくつかの重要な数学的特性があります。

• 各エンドポイントから中間点までの距離は等しい
• エンドポイントは行セグメントの長さを定義します
• 終点は線の区分の斜面を計算するのに使用されます
• 中間点座標は終点座標の平均です

エンドポイントフォーミュラの派生

エンドポイント式は中間点式から派生できます。 M(x,y) が A(x1,y1) と B(x2,y2) のエンドポイントの場合、次のようになります。

x = (x₁ + x₂)/2
y = (y₁ + y₂)/2

未知のエンドポイントB(x2、y2)を解決するために、リアランジング:

x₂ = 2x - x₁
y₂ = 2y - y₁

M(x、y)が中点であり、A(x1、y1)が既知のエンドポイントであるB(x2、y2) =(2x - x1、2y - y1)がエンドポイントとA(x1、y1)を指しています。

リアルワールドシナリオへの応用

エンドポイントの計算には、数多くの実用的なアプリケーションがあります。

• 建築および構造: 構造要素の正確な位置を決定する
• ナビゲーション: 出発点と中間位置に基づいて目的地ポイントを計算する
• コンピュータ グラフィック: ラインの区分をレンダリングし、正確に形づけて下さい
• データ分析: 部分的な情報を与えた場合の余分傾向
• 調査:不動産の境界とランドマークを見つけること

一般的な間違い エンドポイントの計算

エンドポイントの解決には、これらの一般的なエラーを回避するには注意してください。

• エンドポイントとミッドポイントの式を混乱させる
• 式の誤った適用(例、エンドポイントを2回からサブトラクト)
• 負の座標を扱うときにエラーを署名する
• 中間点座標を2倍増させると計算ミス

3次元への拡張

一般的には2次元のエンドポイントで動作する一方で、概念は自然に三次元空間に拡張されます。 エンドポイントA(x1,y1,z1)とB(x2,y2,z2)とM(x,y,z)のラインセグメントの場合、エンドポイントの式は次のようになります。

B(x₂,y₂,z₂) = (2x - x₁, 2y - y₁, 2z - z₁)

高度なエンドポイントアプリケーション

基本的な幾何学的計算を超えて、エンドポイントはより高度な数学的および実用的なコンテキストで重要なアプリケーションを持っています。

ベクトル解析

ベクトル数学では、エンドポイント式はベクトルの追加と直接関係を持っています。 A から M までの行セグメントをベクトル v で表すと、M で適用される同じベクトルがエンドポイント B に到達します。 次のように記述できます。

B = M + (M - A) = 2M - A

幾何学的な変形

エンドポイントを見つけることは、特に、さまざまな幾何学的変換で不可欠です。

• 反射: 線または平面の点を反映するとき
• 回転: 固定点の周りのオブジェクトを回転させるとき
• 関係:中心点から形をスケーリングするとき

高度な例: サークルでエンドポイントを見つける

中心C(7,8)と半径5単位の円を考慮してください。 直径の1つのエンドポイントがA(3,5)の場合、他のエンドポイントBとは何ですか?

円の場合、中心はあらゆる直径の中間点です。 エンドポイント式を使用する:

x₂ = 2(7) - 3 = 11
y₂ = 2(8) - 5 = 11

そのため、もう一方のエンドポイントBは(11,11)です。

アプリケーション: データ予測

終点方式の魅力的なアプリケーションは、リニアトレンド分析に表示されます。 特定の期間(エンドポイントA)のデータを持ち、その期間(M)の平均値を知ると、トレンドが線形に続くと仮定して、将来の値(エンドポイントB)を計画することができます。

たとえば、YouTubeチャンネルが起動時に0の加入者を持っていた場合(A = (0,0)) と4ヶ月後に平均27,000加入者(M = (4,27000)))、8ヶ月後の予測が可能です(B):

x₂ = 2(4) - 0 = 8
y₂ = 2(27000) - 0 = 54,000

これは、チャネルが8ヶ月後に約54,000の加入者を持っていることを予測します, 線形成長を想定して継続.

エンドポイントとその関係の可視化

ビジュアル表現は、エンドポイントの概念の理解を大幅に高めることができます。 エンドポイントの関係を可視化する効果的な方法は次のとおりです。

幾何学的可視化

エンドポイントで動作する際は、以下を視覚化します。

• ラインセグメント接続ポイントAをミッドポイントMに描画する
• 同じ長さでMを超えるラインセグメントを拡張
• 終点Bマーク
• M が A と B の両方から等しいことを検証します。

ベクトル解釈

ベクトルを使用してエンドポイントを概念化:

• ポイントから置換を表現する ベクトルとしてMをミッドポイント
• M から始まる同じベクトルを適用します。
• この2番目のベクトルマークの先端はBをマークします

動的学習ツール

エンドポイントの概念のインタラクティブな学習のために、これらのアプローチを検討してください。

• 動的ジオメトリソフトウェア(GeoGebraのような)を使用して、インタラクティブなモデルを作成する
• ドラッグポイントによる実験 A または M および B の変更方法の観察
• エンドポイントが他のポイントとして移動する方法を示すアニメーションを作成する
• 座標グリッドを設定し、計算を視覚的に検証

主なエンドポイントコンセプトの概要

エンドポイントの計算をマスターするには、これらのコアの原則を覚えておいてください。

1. エンドポイント式 B = 2M - 中点関係から直接派生
2. 中間点は常に両方のエンドポイントから派生しています
3. エンドポイントはコンポーネント単位(x座標とy座標を別々に計算できます)
4. M から B までのベクトルは A から M へのベクトルと等しい
5. エンドポイントの計算はリバーシブルです。他のエンドポイントとミッドポイントを知っているとエンドポイントが確認できます。

エンドポイントのこの包括的な理解により、幅広い幾何学的な問題を解決し、さまざまな数学的および現実的なコンテキストでこれらの概念を適用するために十分に装備されます。

エンドポイントは、ラインセグメントの端をマークする2つのポイントの1つです。 1つのエンドポイントとラインセグメントの中間点を指定すると、他のエンドポイントを計算できます。

1. 1
   既知のエンドポイントとミッドポイントの座標を特定する
2. 2
   中間点座標を2倍増
3. 3
   既知のエンドポイント座標を割く
4. 4
   結果は未知のエンドポイントの座標を与えます