Calculatrice de séquence
Calculer les séquences arithmétiques et géométriques.
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Sommaire
Guide détaillé de séquence
Comprendre les séquences en mathématiques
Une séquence en mathématiques est une liste ordonnée de nombres qui suivent un modèle spécifique. Chaque nombre dans une séquence est appelé un terme, et le nombre total de termes est la longueur de la séquence, qui peut être finie ou infinie.
Propriétés clés des séquences:
- L'ordre des éléments est important
- Les termes peuvent apparaître plus d'une fois
- Chaque terme suit un schéma établi par la séquence
- Les séquences peuvent être représentées par des formules explicites ou des relations de récurrence
Types de séquences de nombre
Séquences arithmétiques
Chaque terme diffère du précédent par une valeur constante (différence commune).
an = a1 + (n-1)d
Séquences géométriques
Chaque terme est multiplié par une valeur constante (rapport commun).
an = a1 × rn-1
Séquences de Fibonacci
Chaque terme est la somme des deux termes précédents.
an = an-1 + an-2
Séquences arithmétiques
Une séquence arithmétique présente une différence constante entre les termes consécutifs. Cette différence peut être positive ou négative, déterminant si la séquence augmente ou diminue.
Travailler avec les séquences arithmétiques:
Terme général : an = a1 + (n-1)d
Somme des premiers termes n: Sn = n/2 × (a1 + an)
Exemple :Pour la séquence 1, 3, 5, 7, 9, 11... (d = 2)
Pour trouver le 5ème terme : a5 = 1 + (5-1) × 2 = 1 + 8 = 9
Somme des cinq premiers termes: S5 = 5/2 × (1 + 9) = 25
Séquences géométriques
Dans les séquences géométriques, chaque terme est trouvé en multipliant le terme précédent par un nombre fixe non nul appelé le ratio commun (r).
Travailler avec les séquences géométriques:
Terme général : an = a1 × rn-1
Somme des premiers termes n: Sn = a1 × (1 - rn)/(1 - r) pour r 1
Exemple :Pour la séquence 1, 2, 4, 8, 16, 32... (r = 2)
Pour trouver le 8ème terme : a8 = 1 × 27 = 128
Somme des trois premiers termes: S3 = 1 × (1 - 23)/(1 - 2) = 7
Application des séquences
Les séquences apparaissent dans de nombreuses applications pratiques dans différentes disciplines :
Dans la science et la nature
- Modèles de croissance démographique
- Modèles de croissance biologique
- Génération fractale
- Profils de ramification dans les plantes
- Spirales en coquilles et fleurs (Fibonacci)
En économie et finances
- Calculs des intérêts composés
- Paiements hypothécaires et prêts
- Calendriers d'amortissement
- Prévisions d'inflation
- Analyse des marchés financiers
Concepts de séquence avancés
Convergence et divergence:
Une séquence estconvergentsi ses termes s'approchent d'une limite spécifique à mesure que n augmente.
Une séquence estdivergentsi elle n'approche pas une limite finie.
Par exemple, la séquence 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... converge à 0.
Alors que la séquence 1, 2, 3, 4, ... diverge à l'infini.
Série mathématique:
Une série est la somme de tous les termes dans une séquence:
S = a1 + a2 + a3 + ... + an
Les séries peuvent être finies ou infinies, et les séries infinies peuvent être convergentes ou divergentes.
Concept de séquence
Une séquence est une liste ordonnée de numéros qui suivent un modèle spécifique. Il existe deux types principaux de séquences :
- Séquence arithmétique:Une séquence où chaque terme après le premier est obtenu en ajoutant une valeur constante (différence commune) au terme précédent.
- Séquence géométrique:Une séquence où chaque terme après le premier est obtenu en multipliant le terme précédent par une valeur constante (rapport commun).
Géométrie: a1 × r^(n-1)
Méthodes de calcul
Voici les étapes pour calculer une séquence:
-
1Identifier le premier terme (a1) et la différence/rapport commun (d/r)
-
2Déterminer le nombre de termes (n) à calculer
-
3Utilisez la formule appropriée pour calculer chaque terme
Par exemple, pour calculer une séquence arithmétique avec premier terme 1 et différence commune 2:
a₂ = 1 + (2-1)2 = 3
a₃ = 1 + (3-1)2 = 5
a₄ = 1 + (4-1)2 = 7
a₅ = 1 + (5-1)2 = 9
Séquence - Exemples pratiques
Exemple 1Compte d'épargne
Calcul du solde d'un compte d'épargne avec dépôts réguliers.
Solde initial : 100 dollars
Dépôt mensuel: 50 $
Séquence: 100, 150, 200, 250, 300
Exemple 2Croissance démographique
Calcul de la croissance démographique avec un taux de croissance constant.
Population initiale: 1000
Taux de croissance: 1,1
Séquence: 1000, 1100, 1210, 1331, 1464
Exemple 3Changement de température
Calcul du changement de température au fil du temps.
Température initiale: 20°C
Changement par heure: -2°C
Séquence: 20, 18, 16, 14, 12