Calculatrice de moyenne harmonique

Quelle est la moyenne harmonique?

La moyenne harmonique est l'un des trois moyens pythagoréens, à côté de la moyenne arithmétique et de la moyenne géométrique. Elle est définie comme la réciproque de la moyenne arithmétique des réciproques d'un ensemble de nombres positifs.

Alors que la moyenne arithmétique donne un poids égal à chaque valeur, la moyenne harmonique donne un poids égal à chaque unité de valeur. Cela le rend particulièrement utile pour la moyenne des taux et des ratios.

Définition mathématique

Pour un ensemble de nombres positifs x1, x2, ..., xn, la moyenne harmonique (HM) est calculée comme suit:

Cas spécial: Moyenne harmonique de deux nombres

Pour seulement deux chiffres a et b, la moyenne harmonique peut être simplifiée pour:

Relations avec d'autres moyens

Pour un ensemble donné de nombres positifs (avec au moins une paire de valeurs inégales), les trois Pythagores signifient toujours suivre cette inégalité:

Pour deux nombres positifs, ces moyens sont liés par:

Propriétés de la moyenne harmonique

• La moyenne harmonique est toujours inférieure ou égale à la moyenne géométrique
• La moyenne harmonique est fortement influencée par de petites valeurs dans l'ensemble de données
• Toutes les valeurs doivent être positives (non nulles) pour la moyenne harmonique à calculer
• Si toutes les valeurs sont égales, alors la moyenne harmonique égale la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique
• La moyenne harmonique est la réciproque de la moyenne arithmétique des réciproques

Applications de la moyenne harmonique

La moyenne harmonique a de nombreuses applications pratiques dans différents domaines:

1. Calcul de la vitesse moyenne :Lorsque vous voyagez la même distance à des vitesses différentes, la vitesse moyenne est la moyenne harmonique de ces vitesses.
2. Génie électrique:Calcul de la résistance équivalente des résistances reliées en parallèle.
3. Physique :Déterminer les densités moyennes et les autres propriétés physiques.
4. Financement :Calcul des multiples moyens tels que le rapport prix-rémunération (P/E).
5. L'apprentissage automatique :Calcul du score F1 (moyenne harmonique de précision et de rappel) dans les problèmes de classification.
6. Hydrologie:Valeurs moyennes de conductivité hydraulique pour un débit perpendiculaire aux couches.

Contexte historique

The concept of harmonic mean dates back to ancient mathematics. The term "harmonic" comes from the field of music, where the harmonic mean was used to describe musical intervals. The Pythagoreans discovered that if a string is divided in the ratio a:b, the note produced is a harmonic mean of the notes produced by strings of lengths a and b.

Nombres harmoniques

Un concept connexe est le nombre harmonique, désigné comme H(n), qui est la somme des réciproques des premiers nombres naturels n:

Le nombre harmonique est lié à la moyenne harmonique des premiers entiers n positifs:

Cette relation montre que la moyenne harmonique des premiers entiers n positifs est n divisée par le nombre nth harmonique.

La moyenne harmonique est calculée comme étant la réciproque de la moyenne arithmétique des réciproques des nombres. Il est particulièrement utile pour le calcul des taux moyens, surtout lorsqu'il s'agit de taux de variation.

Pour calculer la moyenne harmonique, suivez les étapes suivantes :

1. 1
   Prendre la réciproque de chaque nombre (1/x)
2. 2
   Trouver la moyenne arithmétique de ces réciproques
3. 3
   Prendre la réciprocité du résultat

Par exemple, pour trouver la moyenne harmonique de 2, 4, 8: