Calculadora de funciones de error
Calcular la función de error (erf) y la función de error complementario (erfc) para cualquier número real.
Calcular la función de error
Cuadro de contenidos
Guía integral para funciones de error
La función de error (erf) es una función especial matemática fundamental con profundas implicaciones en múltiples disciplinas. Introducido en el siglo XIX por matemáticos que estudian la teoría de la probabilidad, se ha convertido desde entonces en una herramienta esencial en estadísticas, física, ingeniería y matemáticas aplicadas.
Definición y propiedades matemáticas
La función de error se define formalmente como:
Esta integral no elemental representa la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal de media 0 y varianza 1/2 caiga en el rango [-x, x]. La función tiene varias propiedades notables:
- Es una función extraña: erf(-x) = -erf(x)
- Tiene límites: erf(0) = 0 y erf(∞) = 1
- Su derivado es: (d/dx)erf(x) = (2/√π)e^(-x2)
- Su expansión de la serie Taylor es: erf(x) = (2/π) gia (n=0)^n·x^(2n+1))/((2n+1)·n!)
Relación con otras funciones
La función de error está estrechamente relacionada con varias funciones matemáticas importantes:
Función de error complementaria
erfc(x) = 1 - erf(x)
Distribución normal CDF
Negotiat(x) = (1/2)(1 + erf(x/√2)
Q-function
Q(x) = (1/2)erfc(x/√2)
Función de error imaginario
erfi(x) = -i·erf(ix)
Computación numérica
Aunque la función de error no tiene una expresión de forma cerrada en términos de funciones elementales, existen varias aproximaciones numéricas precisas:
- aproximación de Abramowitz y Stegun: erf(x) ♥ 1 - (a1t + a2t2 + a3t3)e^(-x2) donde t = 1/(1+px)
- Continuación de la expansión de la fracción para erfc(x)
- Serie Taylor para pequeños valores de x
- Ampliación asintotica para grandes valores de x
Aplicaciones en Ciencia e Ingeniería
La función de error aparece en numerosos campos:
Probabilidad Teoría
Se utiliza en el cálculo de probabilidades para variables aleatorias normalmente distribuidas y intervalos de confianza.
Estadísticas
Aparece en pruebas de hipótesis, cuantificación de incertidumbre y análisis de regresión.
Física
Se utiliza en procesos de difusión, termodinámica y mecánica cuántica.
Procesamiento de señales
Importante en comunicaciones digitales, detección de errores y sistemas de corrección.
Transferencia de calor
Las soluciones para las ecuaciones de calor y difusión a menudo implican la función de error.
Matemáticas financieras
Se utiliza en el modelo Black-Scholes para la fijación de precios de opción y evaluación de riesgos.
Desarrollo histórico
The error function was first introduced by J.W.L. Glaisher in 1871, though the study of related integrals dates back to earlier mathematicians. The name "error function" comes from its connection to the theory of measurement errors in astronomy and geodesy, where normal distributions were first applied to model observational errors.
Temas avanzados
Análisis complejo
La función de error se puede extender al plano complejo, creando la compleja función de error. La función es completa (holomorfa en todas partes), sin singularidades excepto en el infinito.
Integrales iterados
Las integraciones reiteradas de la función de error complementario producen las integrales iteradas ierfc(x), i2erfc(x), etc., que tienen aplicaciones en problemas de difusión dependientes del tiempo.
Función de Faddeeva
La compleja función de error se discute típicamente en su forma escalada como la función Faddeeva: w(z) = e^(-z2)erfc(-iz), importante en la física computacional y la espectroscopia.
¿Lo sabías?
La integral Gaussiana ∫(−∞)^∞ e^(-x2) dx = √π está estrechamente relacionada con la función de error. Mientras que la función de error no tiene una forma cerrada elemental, esta integral definida tiene una solución elegante de forma cerrada que se puede probar a través de un cambio inteligente a las coordenadas polares.
¿Qué es la función de error?
La función de error (erf) es una función especial que aparece en probabilidad, estadísticas y ecuaciones diferenciales parciales. Se define como la parte integral de la función gausiana y se relaciona con la distribución normal.
- Integral de la función Gausiana
- Relacionados con la distribución normal
- Usado en teoría de probabilidad
- Importantes en las estadísticas
Propiedades
Simmetría
erf(-x) = -erf(x)
Limits
erf(0) = 0, erf(∞) = 1
Complementario
erfc(x) = 1 - erf(x)
Rango
-1 ≤ erf(x) ≤ 1
Función de error Formula
La función de error se define por la siguiente integral:
Donde:
- x es el valor de entrada
- π es pi (aproximadamente 3.14159)
- e es el número de Euler (aproximadamente 2.71828)
Aplicaciones
ProbabilidadDistribución normal
Se utiliza para calcular las probabilidades en la distribución normal y para encontrar intervalos de confianza.
FísicaTransferencia de calor
Se utiliza para resolver problemas de conducción de calor y ecuaciones de difusión.
IngenieríaProcesamiento de señales
Se utiliza en el procesamiento digital de señales y la teoría de la comunicación.