Calculadora de teoremas de bahías
Calcule la probabilidad posterior usando el teorema de Bayes para actualizar las probabilidades basadas en nuevas pruebas.
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Guía integral de Bayes Theorem
Introducción a Bayesian Pensando
El teorema de Bayes, nombrado por el Reverendo Thomas Bayes (1701-1761), es un principio fundamental en la teoría de probabilidad y las estadísticas que describe cómo actualizar las creencias basadas en nuevas pruebas. Este teorema proporciona un marco matemático para incorporar nueva información y representa la piedra angular de las estadísticas Bayesianas, un enfoque poderoso de la inferencia estadística.
Antecedentes históricos
Thomas Bayes was an English statistician, philosopher, and minister whose work wasn't published until after his death. His friend Richard Price edited and presented Bayes' essay titled "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances" to the Royal Society in 1763. Initially, Bayesian methods were overshadowed by frequentist statistics, but with the advent of computers in the 20th century, Bayesian approaches experienced a significant resurgence.
Las estadísticas bayesianas difieren de las estadísticas frecuentadoras tradicionales de una manera fundamental: si bien las estadísticas frecuentadoras tratan los parámetros como valores fijos (pero desconocidos), las estadísticas bayesianas los tratan como variables aleatorias con distribuciones de probabilidad.
Conceptos clave en la inferencia bayesiana
-
Probabilidad previa (P(A)):
Su creencia inicial sobre un evento antes de considerar nuevas pruebas. Representa lo que usted sabe sobre una situación antes de que lleguen nuevos datos.
-
Probablemente (P(B sometidaA)):
La probabilidad de observar la evidencia dado que su hipótesis es verdadera. Mide lo compatible que es su evidencia con su hipótesis.
-
Posterior Probability (P(A habitB)):
Su creencia actualizada después de considerar la nueva evidencia. Esto es lo que calcula el teorema de Bayes.
-
Pruebas o probabilidad marginal (P(B)):
La probabilidad total de observar la evidencia, independientemente de si la hipótesis es verdadera o falsa.
La intuición detrás del teorema
Piense en el teorema de Bayes como una forma formalizada de aprender de la experiencia. Cuando encuentras nueva información, no descartas tus conocimientos previos, lo actualizas. Si inicialmente creías que algo era poco probable, pero luego observas pruebas fuertes que lo respaldan, tu creencia debe cambiar en consecuencia.
Por ejemplo, imagina que eres médico evaluando si un paciente tiene una enfermedad rara. Inicialmente, sabiendo que la enfermedad afecta al 1% de la población, podría asignar una probabilidad del 1%. Pero si una prueba que es 99% exacta para esta enfermedad vuelve positiva, deberías actualizar tu creencia. El teorema de Bayes le dice exactamente cuánto ajustar su estimación de probabilidad.
Aplicaciones en varios campos
Medicina
Mejora la precisión diagnóstica combinando resultados de prueba con tasas de prevalencia. Ayuda a determinar si una prueba positiva indica realmente la presencia de enfermedades.
Machine Learning
Powers Naive Bayes clasificadores para categorización de texto, filtrado de spam y sistemas de recomendación. Forma la base para muchos algoritmos de aprendizaje automático.
Finanzas
Se utiliza en evaluación de riesgos, gestión de carteras y comercio algorítmico. Ayuda a ajustar las predicciones basadas en la nueva información del mercado.
Derecho
Helps assess evidence in legal proceedings. The "prosecutor's fallacy" occurs when Bayes' theorem is misapplied in court cases.
Ventajas de los enfoques bayesianos
- Incorpora conocimientos previos y opiniones de expertos
- Hace declaraciones de probabilidad directa sobre parámetros
- Manija modelos complejos y datos perdidos bien
- Proporciona una cuantificación de incertidumbre completa mediante distribuciones de probabilidad
- Permite una actualización secuencial a medida que se disponga de nuevos datos
- Implementos naturales La navaja de Occam, favoreciendo explicaciones más simples
Misconcepciones comunes
Fallacy del Fiscal
Este error común ocurre cuando la probabilidad condicional P(Evidence habitInnocent) se confunde con P(Innocent habitEvidence). Por ejemplo, si la probabilidad de un emparejamiento de ADN dado inocencia es de 1 en 10.000, es incorrecto concluir que hay un 99,99% de probabilidades de que la persona sea culpable.
El descenso de la tasa de base
Esto ocurre cuando las personas ignoran la probabilidad previa (tasa de base) y se centran exclusivamente en la nueva evidencia. Para condiciones raras, incluso pruebas muy precisas producirán muchos falsos positivos si la tasa base no se considera.
Comprensión de las probabilidades posteriores
La probabilidad posterior —lo que calcula el teorema de Bayes— proporciona un grado actualizado de creencia después de considerar nuevas pruebas. Combina su conocimiento previo con la fuerza de la nueva evidencia de una manera matemáticamente precisa.
Para la toma de decisiones, esta probabilidad posterior es crucial. En los contextos médicos, determina si el tratamiento debe proceder. En los negocios, influye en las decisiones de inversión. Y en la ciencia, forma nuestra confianza en las teorías competidoras.
Ejemplo: Pruebas para una enfermedad
Supongamos que una enfermedad afecta al 1% de la población, y una prueba es 99% exacta (tanto sensibilidad como especificidad). Si alguien prueba positivo, ¿cuál es la probabilidad de que tengan la enfermedad?
- Prior: P(Disease) = 0.01
- Preferencia: P(Positivo sobre la vidaDisease) = 0.99
- Falso positivo Tasa: P(Positiva no enfermedad) = 0.01
Usando el teorema de Bayes: P(Disease pacienciaPositive) = 0.99 × 0.01 / [(0.99 × 0.01) + (0.01 × 0.99)] = 0.59
A pesar de la precisión del 99% de la prueba, sólo hay un 50% de probabilidades de que alguien que prueba positivo tiene la enfermedad!
Fórmula del Teorema de Bayes
El teorema de Bayes es una fórmula matemática utilizada para actualizar las probabilidades basadas en nuevas pruebas. Nos ayuda a revisar nuestras creencias sobre la probabilidad de que ocurra un evento.
Donde:
- P(A habitB) es la probabilidad posterior
- P(B habitA) es la probabilidad
- P(A) es la probabilidad previa
- P(B) es la evidencia
Cómo utilizar Bayes Theorem
Para usar el teorema de Bayes, siga estos pasos:
-
1Determinar la probabilidad previa (P(A))
-
2Calcular la probabilidad (P(B sometidaA))
-
3Determinar las pruebas (P(B))
-
4Aplicar el teorema de Bayes para calcular la probabilidad posterior
Resultados de interpretación
Comprender lo que la probabilidad posterior le dice:
-
1Probabilidad Posterior Alta ( > 0,7):
Fuerte evidencia a favor de la hipótesis.
-
2Probabilidad Posterior moderada (0,3-0,7):
Algunas pruebas, pero no concluyentes.
-
3Probabilidad Posterior baja (< 0.3):
Debilidad de evidencia contra la hipótesis.
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1Diagnosis médica
Previa probabilidad de enfermedad: 0.01
Sensibilidad de prueba: 0,95
Especificidad de la prueba: 0,90
Probabilidad Posterior ♥ 0,087
Incluso con una prueba positiva, la probabilidad de tener la enfermedad sigue siendo relativamente baja.
Ejemplo 2Predicción meteorológica
Previa probabilidad de lluvia: 0,3
Probabilidad de cobertura en la nube: 0,8
Cubierta de nube dada la lluvia: 0.9
Probabilidad Posterior ♥
La probabilidad de lluvia aumenta ligeramente con cubierta de nube.
Ejemplo 3Detección de spam
Previa probabilidad de spam: 0
Word "free" in spam: 0.8
Word "free" in non-spam: 0.2
Posterior Probability ■ 0.8
High probability of spam when the word "free" is present.