Calculadora de sumas
Calcular la suma de una secuencia usando notación de sigma.
Introduzca su expresión
Cuadro de contenidos
Comprensión de la notación de sumas
Introducción a la notación de la suma
La notación de la suma, representada por el sigma de la letra griega, es un poderoso cortocircuito matemático usado para expresar la adición de una secuencia de números o términos. La notación condensa elegantemente lo que de otro modo sería expresiones largas, haciendo cálculos complejos más manejables y concisos.
Componentes de la notación de la suma
- El símbolo del sigma- Representa el funcionamiento de la suma
- Variable del índice i)- La variable que cambia con cada término
- Límite inferior m)- El valor inicial del índice
- Parte superior n)- El valor final del índice
- Función o expresión f(i)- La fórmula aplicada a cada valor del índice
Propiedades clave de la suma
Comprender estas propiedades ayuda a simplificar los cálculos y manipular las sumas:
Propiedad constante
(i=m a n) c = c + c + ... + c = c·(n-m+1)
Donde es una constante.
Propiedad distributiva
(i=m a n) [f(i) + g(i)] = egaf(i) + giag(i)
Suma de funciones equivale a suma de sus sumas separadas.
Multiplicación de escalar
(i=m to n) c·f(i) = c·gia(i=m to n) f(i)
Los constantes pueden ser factores fuera de la suma.
Cambio de índice
(i=m to n) f(i) = Governing(j=m+k to n+k) f(j-k)
La misma suma con índices cambiados.
Fórmulas de Sumación Común
Estas fórmulas estándar ahorran tiempo al calcular tipos específicos de sumas:
Sum of First n Números naturales
(i=1 a n) i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
Sum of Squares
(i=1 a n) i2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6
Suma de Cubes
(i=1 a n) i3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = [n(n+1)/2]2
Tipos especiales de serie
Diferentes tipos de secuencias conducen a diferentes fórmulas de sumación:
Arithmetic Series
Para una secuencia aritmética con el primer término a y la diferencia común d:
(i=1 a n) [a + (i-1)d] = n/2 * [2a + (n-1)d] = n/2 * (primer término + último término)
Serie geométrica
Para una secuencia geométrica con primer término a y ratio común r:
(i=1 a) ar^(i-1) = a(1-r^n)/(1-r) para r excluido1
Cuando vivir< 1, the sum of an infinite geometric series is:
(i-1) = a/(1-r)
Técnicas de Summación Avanzada
Al trabajar con sumas complejas, estos métodos pueden ser útiles:
Telescoping Series
Una serie telescópica es una donde los términos intermedios se cancelan cuando se expanden, dejando sólo unos pocos términos. Por ejemplo:
(i=1 a n) [1/i - 1/(i+1)] = 1 - 1/(n+1)
Summation doble
Al trabajar con múltiples índices (como en matrices):
(i=1 a m) Governing(j=1 a n) a_ij
Aplicaciones de la suma
La notación de sumas tiene aplicaciones generalizadas en matemáticas y otras disciplinas:
- Estadísticas- Calculando medios, diferencias y desviaciones estándar
- Calculus- Riemann sumas para aproximar integrales
- Finanzas- Completo interés y cálculos del valor actual
- Física- Computando fuerzas totales, energías u otras cantidades físicas
- Computer Science- Análisis de algoritmos y complejidad computacional
Summation Formula
La suma (notación sigma) representa la suma de una secuencia de términos. Es denotado por el sigma de la letra griega.
Cómo calcular la suma
Para calcular una suma, siga estos pasos:
-
1Introduzca la expresión usando 'n' como variable
-
2Especifique el valor de inicio (limitado inferior)
-
3Especifique el valor final (encuadernado superior)
-
4Calcular la suma de todos los términos de principio a fin
Por ejemplo, encontrar la suma de n2 de 1 a 5:
Summation - Ejemplos prácticos
Ejemplo 1Suma de números naturales
Calcular la suma de números naturales de 1 a 10.
(n=1 a 10) n = 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55
Ejemplo 2Sum of Squares
Calcular la suma de cuadrados de 1 a 5.
(n=1 a 5) n2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
Ejemplo 3Secuencia Aritmética
Calcular la suma de la secuencia aritmética 2n + 1 de 1 a 5.
(n=1 a 5) (2n + 1) = (2*1 + 1) + (2*2 + 1) + ... + (2*5 + 1) = 35