Calculadora de medios geométricos
Calcular la media geométrica de un conjunto de números positivos.
Introduzca sus números
Cuadro de contenidos
Comprensión geométrica Significa
La media geométrica es un tipo de promedio que representa la tendencia central de un conjunto de números utilizando su producto en lugar de su suma. Es particularmente útil para conjuntos de datos con valores que cambian por multiplicación (como tasas de crecimiento) en lugar de por adición.
¿Qué es el Significado Geométrico?
La media geométrica se define como la nuca raíz del producto de n números. A diferencia de la media aritmética (que añade valores y divide por el conteo), la media geométrica multiplica todos los valores juntos y luego toma la raíz apropiada.
Propiedades clave del medio geométrico:
- Siempre es menos o igual a la media aritmética (la calidad sólo ocurre cuando todos los valores son idénticos)
- Sólo se define para números positivos
- Es menos influenciado por valores extremos que la media aritmética
- Si cada valor en un conjunto de datos es reemplazado por el medio geométrico, su producto permanece sin cambios
Diferencias entre medios Aritméticos y geométricos
| Aspecto | Arithmetic Mean | Significado geométrico |
|---|---|---|
| Formula | (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n | (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) |
| Operación | Adición luego división | Multiplicación luego raíz |
| Mejor | Datos lineales, cambios absolutos | Datos exponenciales, tasas de crecimiento |
| Ejemplo | Promedio de las calificaciones de prueba | Regresos medios de inversión |
Aplicaciones de medios geométricos
La media geométrica es ampliamente utilizada en varios campos:
- Finanzas:Cálculo del rendimiento medio de las inversiones y de las tasas de crecimiento anual complejas (CAGR)
- Biología:Analizar el crecimiento demográfico, las tasas de crecimiento bacteriano y los procesos biológicos
- Geometría:Encontrar la longitud lateral de un cuadrado con el mismo área que un rectángulo
- Estadísticas:Analizar conjuntos de datos con comportamiento exponencial o relaciones proporcionales
- Economía:Medición de las tasas de crecimiento económico promedio y los índices de precios
Significado geométrico en geometría
En geometría, la media geométrica tiene un significado especial. Para un triángulo derecho, si una altitud se dibuja desde el ángulo recto hasta la hipotenusa, la longitud de la altitud es la media geométrica de los segmentos de la hipotenusa. Esto se conoce como el teorema geométrico.
Relación con otros medios:
Para cualquier conjunto de números reales positivos, la siguiente desigualdad sostiene:
Significado armónico ≤ Significado geométrico ≤ Significado aritmético
Esta relación se conoce como la desigualdad AM-GM-HM, y la igualdad sólo ocurre cuando todos los valores del conjunto son idénticos.
Prueba matemática de AM-GM Calidad
La desigualdad AM-GM establece que la media aritmética de un conjunto de números reales no negativos es mayor o igual a la media geométrica de esos números. Aquí hay una prueba para dos números:
Para los dos números positivos a y b:
(a - b)² ≥ 0
a² - 2ab + b² ≥ 0
a² + 2ab + b² ≥ 4ab
(a + b)² ≥ 4ab
a + b ≥ 2√ab
(a + b)/2 ≥ √ab
Esto demuestra que la media aritmética (a + b)/2 es mayor o igual a la media geométrica √ab, con igualdad si y sólo si a = b.
Cálculo alternativo Métodos
Para conjuntos de datos grandes o números con muchos dígitos, calcular el medio geométrico directamente puede llevar a retos computacionales debido a productos muy grandes. Un enfoque alternativo utiliza logaritmos:
- Tome el logaritmo de cada número en el conjunto de datos
- Calcular la media aritmética de estos logaritmos
- Tome el antilogaritmo (exponenciación) de este medio
GM = exp(log(x1) + log(x2) + ... + log(xn))/n)
Peso geométrico Significa
Similar a la media aritmética ponderada, podemos calcular una media geométrica ponderada cuando diferentes valores tienen diferentes niveles de importancia:
Weighted GM = (x1^w1 × x2^w2 × ... × xn^wn)^(1/(w1+w2+...+wn)
Donde w1, w2, ..., wn son los pesos asignados a cada valor.
Aplicaciones avanzadas
In Finance and Economics
La media geométrica es esencial para calcular la tasa de crecimiento anual compuesta (CAGR) de las inversiones:
CAGR = (valor final / valor inicial)^(1/n) - 1
Donde n es el número de años.
Por ejemplo, si una inversión crece de $1,000 a $1,610 durante 5 años, la CAGR es:
CAGR = (1610/1000)^(1/5) – 1 = 1.1^(1/5) – 1 = 0,10 o 10%
En procesamiento de imágenes
El filtro medio geométrico se utiliza en el procesamiento digital de imágenes para reducir ciertos tipos de ruido al tiempo que preserva las características del borde, a diferencia de los filtros medios aritméticos que tienden a desdibujar los bordes.
En Acústica e Ingeniería de audio
La media geométrica se utiliza para calcular la frecuencia central de las bandas de frecuencia de audio, especialmente en los ecualizadores y herramientas de análisis de audio.
Frecuencia central = √(f1 × f2)
Donde f1 y f2 son los límites de frecuencia inferior y superior.
Significado geométrico en la ciencia de datos
En la ciencia de datos y el aprendizaje automático, la media geométrica es valiosa para:
- métricas de precisión normalizadas:Al combinar múltiples métricas de clasificación
- Ensemble methods:Combinando predicciones de múltiples modelos
- Escalada de características:Normalización de las características con relaciones multiplicativas
- Detección de anomalías:Identificación de los outliers en datos multiplicativos
Cuándo elegir el significado geométrico sobre el significado aritmético:
- Al tratar con porcentajes, ratios o tasas
- Al analizar el crecimiento en varios períodos
- Cuando los valores tienen relaciones multiplicativas en lugar de aditivos
- Cuando los valores extremos pueden hacer un medio aritmético
- Al calcular factores promedio o multiplicadores
Geometric Mean Formula
La media geométrica se calcula tomando la raíz nth del producto de n números. Es particularmente útil para calcular las tasas medias de cambio o de crecimiento.
Cómo calcular los medios geométricos
Para calcular la media geométrica, siga estos pasos:
-
1Multiplicar todos los números juntos
-
2Cuenta cuántos números hay en tu conjunto de datos
-
3Tomar la nuca raíz del producto
Por ejemplo, encontrar la media geométrica de 2, 4, 8:
Significado geométrico - Ejemplos prácticos
Ejemplo 1Devoluciones de las inversiones
Una inversión crece en 10%, 20% y 15% en tres años. ¿Cuál es la tasa media de crecimiento anual?
Significado geométrico = (1.10 × 1.20 × 1.15)^(1/3) = 1.1487 = 14,87%
Ejemplo 2Crecimiento demográfico
Una población crece de 1000 a 1500 a más de 5 años. ¿Cuál es la tasa media de crecimiento anual?
Tasa de crecimiento = (1500/1000)^(1/5) = 1,0845 = 8,45%
Ejemplo 3Dimensiones del rectángulo
Un rectángulo tiene lados de 4 y 9. ¿Cuál es la longitud lateral de un cuadrado con el mismo área?
Significado geométrico = √(4 × 9) = √36 = 6