Arctan Taschenrechner
Berechnen Sie die inverse tangent (arctan) von jeder realen Zahl.
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Inhaltsverzeichnis
Umfassender Leitfaden für Arctan
Einführung in Arctan
Die Funktion Arctan (Arztangent), auch als tan bezeichnet-1oder atan, ist eine der inverse trigonometrische Funktionen, die eine entscheidende Rolle in Mathematik, Physik, Ingenieurwesen und verschiedenen anderen Bereichen spielt. Dieser umfassende Leitfaden untersucht die Eigenschaften, Anwendungen und mathematische Bedeutung der Arctan-Funktion.
Mathematische Definition
Arctangent wird als inverse Funktion der Tangente definiert. Für jede reale Zahl x gibt arctan(x) den Winkel θ so an, daß tan(θ) = x, wodurch sich das Ergebnis auf den Bereich (-π/2, π/2) Radien oder (-90°, 90°) beschränkt.
- Domain: Alle realen Zahlen (-∞, ∞)
- Bereich: (-π/2, π/2) Radien oder (-90°, 90°)
- arctan ist eine seltsame Funktion: arctan(-x) = -arctan(x)
- Da x sich infinity nähert, nähert sich arctan(x) π/2 (90°)
- Da x sich negativ infinity nähert, nähert sich arctan(x) -π/2 (-90°)
Die grafische Darstellung
Der Graph y = arctan(x) hat folgende Eigenschaften:
- Es geht durch den Ursprung (0,0)
- Es nimmt ständig zu
- Es hat horizontale Asymptote bei y = π/2 und y = -π/2 (oder y = 90° und y = -90°)
- Es ist symmetrisch zum Ursprung
Wichtige Identitäten und Beziehungen
| Identität | Formel |
|---|---|
| Additionsformel | arctan(x) + arctan(y) = arctan((x+y)/(1-xy)) wenn xy< 1 |
| Subtraktion Formel | arctan(x) - arctan(y) = arctan((x-y)/(1+xy)) |
| Doppelwinkel | Arctan(2x/(1-x2)) |
| Derivate | d/dx[arctan(x)] = 1/(1+x2) |
| Integral | tektan(x)dx = x·arctan(x) - (1/2)·ln(1+x2) + C |
Erweiterte Anwendungen
ANHANG Technik und Physik
In der Technik und Physik wird arctan häufig für:
- Signalverarbeitung zur Berechnung von Phasenwinkeln
- Elektrotechnik zur Analyse von Impedanz und Reaktanz in Wechselstromkreisen
- Mechanismen zur Berechnung von Winkeln in Kraftdiagrammen
- Optik zur Bestimmung von Brechungs- und Reflexionswinkeln
2. Informatik
In Computergrafiken und Robotik wird die Funktion atan2(y,x) (eine Variation von arctan) verwendet:
- Aus kartesisch in polare Koordinaten umrechnen
- Drehwinkel für Objekte in 2D- und 3D-Räumen berechnen
- Orientierung und Überschrift in Navigationssystemen bestimmen
3. Mathematik und Kalkül
Arctan erscheint in vielen mathematischen Kontexten:
- Integrationstechniken für rationale Funktionen
- Erweiterungen und Annäherungen der Serie
- Lösungen zu Differentialgleichungen
- Die berühmte Gregory-Leibniz Serie: π/4 = arctan(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
Numerische Berechnung Methoden
Die Arctan-Funktion kann mit verschiedenen Methoden berechnet werden:
Praktische Beispiele
Beispiel 1: Einen Winkel finden
Wenn ein rechtes Dreieck Seiten der Länge 3 (gegenüber) und 4 (angrenzend) hat, kann der Winkel θ mit:
θ = arctan(gegenüber/abwärts) = arctan(3/4) ≈ 36.87°
Beispiel 2: Navigation
Zur Bestimmung des Lagers zwischen zwei GPS Koordinaten (x1,y1) und (x2,y2):
Lager = arctan((y2-y1)/(x2-x1))
Dies gibt den Winkel relativ zu fälligem Osten.
Historischer Kontext
Die Arctan-Funktion wurde seit Jahrhunderten untersucht. Im Jahr 1674 entdeckte James Gregory die Serie Expansion für arctan, die später eine entscheidende Rolle bei der Berechnung von π spielte. Die Funktion gewann in der Kalkül und Ingenieurwissenschaften an Bedeutung, da diese Felder entwickelt wurden, insbesondere mit dem Aufkommen komplexer Analyse und Signalverarbeitung im 19. und 20. Jahrhundert.
Schlussfolgerung
Die Arctan-Funktion ist ein leistungsfähiges mathematisches Werkzeug mit vielfältigen Anwendungen in Wissenschaft, Technik und Mathematik. Seine einzigartigen Eigenschaften machen es unschätzbar, Probleme mit Winkeln, Koordinaten und trigonometrischen Beziehungen zu lösen. Das Verständnis von arctan ist für alle, die in diesen Bereichen tätig sind, von Ingenieuren, die Phasenverschiebungen berechnen, bis hin zu Programmierern, die Computergrafikalgorithmen implementieren.
Was ist Arctan?
Die Arctan-Funktion (auch als inverse Tangente bezeichnet) ist die Inverse der Tangentenfunktion. Es nimmt jede echte Zahl und gibt den Winkel zurück, dessen Tangente dieser Wert ist.
Die Formel
Die Arctan-Funktion kann mit folgender Formel berechnet werden:
Allgemeine Arctanwerte
Sonderwerte
- arctan(0) = 0°
- arctan(0.5774) = 30°
- arctan(1) = 45°
- Arctan(1.732) = 60°
- arctan(∞) = 90°
- Arctan(-∞) = -90°
Eigenschaften
- Bereich: (-∞, ∞)
- Bereich: (-90°, 90°) oder (-π/2, π/2)
- arctan(-x) = -arctan(x)
- arctan(tan(θ) = θ für -90°< θ < 90°
Anwendungen von Arctan
PhysikProjektträger
Arctan wird verwendet, um Startwinkel und Trajektorien in der Projektilbewegung zu berechnen.
IngenieurwesenSteuersysteme
Arctan-Funktionen werden in Steuerungssystemen verwendet, um Phasenwinkel und Systemantworten zu berechnen.
NavigationGPS und Standort
Arctan wird in GPS-Systemen verwendet, um Lager und Richtungen zu berechnen.