Fehler Funktionsrechner
Berechnen Sie die Fehlerfunktion (erf) und komplementäre Fehlerfunktion (erfc) für jede reale Zahl.
Fehlerfunktion berechnen
Inhaltsverzeichnis
Umfassender Leitfaden für Fehlerfunktionen
Die Fehlerfunktion (erf) ist eine grundlegende mathematische Spezialfunktion mit tiefgreifenden Implikationen über mehrere Disziplinen hinweg. Im 19. Jahrhundert von Mathematikern vorgestellt, die die Wahrscheinlichkeitstheorie studieren, ist es seither ein wesentliches Werkzeug in der Statistik, Physik, Ingenieurwesen und angewandte Mathematik geworden.
Mathematische Definition und Eigenschaften
Die Fehlerfunktion ist formal definiert als:
Dieses nicht elementare Integral stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass eine Zufallsgröße mit normaler Verteilung von Mittelwert 0 und Varianz 1/2 im Bereich [-x, x] fällt. Die Funktion hat mehrere bemerkenswerte Eigenschaften:
- Es ist eine seltsame Funktion: erf(-x) = -erf(x)
- Es hat Grenzen: erf(0) = 0 und erf(∞) = 1
- Sein Derivat ist: (d/dx)erf(x) = (2/√π)e^(-x2)
- Seine Taylor-Serienerweiterung ist: erf(x) = (2/√π) Σ(n=0)^∞ ((-1)^n·x^(2n+1))/((2n+1)·n!)
Beziehung zu anderen Funktionen
Die Fehlerfunktion ist eng mit mehreren wichtigen mathematischen Funktionen verbunden:
Ergänzungsfehlerfunktion
Erfc(x) = 1 - erf(x)
Normale Verteilung CDF
0(x) = (1/2)(1 + erf(x/√2))
Q-Funktion
Q(x) = (1/2)erfc(x/√2)
Imaginäre Fehlerfunktion
Erfi(x) = -i·erf(ix)
Numerische Berechnung
Während die Fehlerfunktion in Bezug auf elementare Funktionen keinen geschlossenen Ausdruck hat, existieren mehrere genaue numerische Näherungen:
- Abramowitz und Stegun Näherung: erf(x) ≈ 1 - (a1t + a2t2 + a3t3)e^(-x2) mit t = 1/(1+px)
- Fortsetzung der Fraktionserweiterung für erfc(x)
- Taylor Serie für kleine Werte von x
- Asymptotische Expansion für große Werte von x
Anwendungen in Wissenschaft und Technik
Die Fehlerfunktion erscheint in zahlreichen Feldern:
Wahrscheinlichkeit Theorie
Bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für normal verteilte Zufallsvariablen und Konfidenzintervalle.
Statistik
Erscheint in Hypothesentests, Unsicherheitsquantifizierung und Regressionsanalyse.
Physik
Verwendet in Diffusionsprozessen, Thermodynamik und Quantenmechanik.
Signalverarbeitung
Wichtig bei digitalen Kommunikations-, Fehlererkennungs- und Korrektursystemen.
Wärmeübertragung
Lösungen zu Wärme- und Diffusionsgleichungen beinhalten oft die Fehlerfunktion.
Finanzmathematik
Wird in Black-Scholes Modell für Optionspreise und Risikobewertung verwendet.
Historische Entwicklung
The error function was first introduced by J.W.L. Glaisher in 1871, though the study of related integrals dates back to earlier mathematicians. The name "error function" comes from its connection to the theory of measurement errors in astronomy and geodesy, where normal distributions were first applied to model observational errors.
Erweiterte Themen
Komplexe Analyse
Die Fehlerfunktion kann auf die komplexe Ebene erweitert werden, wodurch die komplexe Fehlerfunktion erzeugt wird. Die Funktion ist ganz (holomorph überall), ohne Singularitäten außer infinity.
Iterated Integrals
Wiederholte Integrationen der komplementären Fehlerfunktion erzeugen die iterierten Integrale ierfc(x), i2erfc(x), etc., die Anwendungen in zeitabhängigen Diffusionsproblemen aufweisen.
Faddeeva Funktion
Die komplexe Fehlerfunktion wird typischerweise in ihrer skalierten Form als Faddeeva-Funktion diskutiert: w(z) = e^(-z2)erfc(-iz), wichtig in der Rechenphysik und Spektroskopie.
Wussten Sie das?
Das Gaussische Integral δ(-∞)^∞ e^(-x2) dx = √π ist eng mit der Fehlerfunktion verbunden. Während die Fehlerfunktion keine elementare geschlossene Form hat, hat dieses definite Integral eine elegante geschlossene Formlösung, die durch eine clevere Veränderung zu polaren Koordinaten nachgewiesen werden kann.
Was ist Fehlerfunktion?
Die Fehlerfunktion (erf) ist eine spezielle Funktion, die in Wahrscheinlichkeit, Statistik und Teildifferenzgleichungen auftritt. Es wird als Integral der Gaussian-Funktion definiert und ist mit der normalen Verteilung verbunden.
- Integral der Gaussian-Funktion
- In Verbindung mit normaler Verteilung
- Wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet
- Wichtig in der Statistik
Eigenschaften
Symmetrie
Erf(-x) = -erf(x)
Grenzwerte
Erf(0) = 0, erf(∞) = 1
Ergänzung
Erfc(x) = 1 - erf(x)
Reichweite
-1 ≤ erf(x) ≤ 1
Fehler Funktion Formel
Die Fehlerfunktion wird durch das folgende Integral definiert:
Wo:
- x der Eingangswert
- π ist pi (ungefähr 3.14159)
- e ist Eulers Nummer (etwa 2.71828)
Anwendungen
WahrscheinlichkeitNormale Verteilung
Verwendet, um Wahrscheinlichkeiten in normaler Verteilung zu berechnen und Vertrauensintervalle zu finden.
PhysikWärmeübertragung
Bei der Lösung von Wärmeleitungsproblemen und Diffusionsgleichungen verwendet.
IngenieurwesenSignalverarbeitung
In der digitalen Signalverarbeitung und Kommunikationstheorie verwendet.