Die binomiale Verteilung ist eine der grundlegendsten und weit verbreiteten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik. Es modelliert die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl unabhängiger Experimente, die jeweils die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit aufweisen.

Schlüsselmerkmale und Bedingungen

Für ein zufälliges Experiment, um einer binomialen Verteilung zu folgen, muss es diese Kriterien erfüllen:

Anzahl der Prüfungen:Das Experiment besteht aus einer festen Anzahl (n) von Versuchen.
Unabhängigkeit:Jeder Prozess ist unabhängig von den anderen.
Zwei Ergebnisse:Each trial has exactly two possible outcomes ("success" or "failure").
Konstante Wahrscheinlichkeit:Die Erfolgswahrscheinlichkeit (p) bleibt für jeden Versuch gleich.

Anwendungen der Binomial Distribution

Binomial Distribution ist in zahlreichen Bereichen und Szenarien anwendbar:

Qualitätskontrolle:Prüfung, ob Produkte Spezifikationen erfüllen.
Medizin:Erfolgsquoten von medizinischen Behandlungen oder Verfahren.
Finanzen:Wahrscheinlichkeit von Aktienkursbewegungen oder Anlageergebnissen.
Sport:Analyse gewinnt/Verluste in einer Reihe von Spielen.
Polling:Schätzung des Anteils der Wähler, die einen Kandidaten bevorzugen.

Statistische Eigenschaften

Mittel (erwartete Werte)

μ = n × p

Wo n die Zahl der Versuche ist und p die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs in jedem Versuch ist.

Variante

σ² = n × p × (1-p)

Hierdurch wird die Streuung bzw. Ausbreitung der Verteilung gemessen.

Standardabweichung

σ = √(n × p × (1-p))

Die quadratische Wurzel der Varianz gibt die Standardabweichung.

Skewen

(1-2p)/√(n×p×(1-p))

Die Verteilung ist symmetrisch, wenn p = 0,5, bei p<0.5, and negatively skewed when p>0.5.

Arten von Binomial Wahrscheinlichkeiten

Bei der Arbeit mit binomialen Verteilungen können Sie verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeiten berechnen:

Wahrscheinlichkeitsart	Notierung	Warenbezeichnung
Genau	P(X = k)	Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen
Kumulativ (meist)	P(X ≤ k)	Wahrscheinlichkeit von k oder weniger Erfolge
Kumulativ (mindestens)	P(X ≥ k)	Wahrscheinlichkeit von k oder mehr Erfolgen
Reichweite	P(a ≤ X ≤ b)	Wahrscheinlichkeit zwischen a und b Erfolge (inklusive)

Beziehung zu anderen Distributionen

Die binomiale Verteilung verbindet sich mit mehreren anderen wichtigen Statistiken:

Normale Annäherung:Für große n kann die binomiale Verteilung durch eine normale Verteilung mit mittleren μ = np und Varianz σ2 = np(1-p) angenähert werden.
Bernoulli Distribution:Eine binomiale Verteilung mit n = 1 ist eine Bernoulli-Verteilung.
Poisson Approximation:Wenn n groß ist und p klein ist, kann die binomiale Verteilung durch eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ = np angenähert werden.

Wann verwenden Sie den Binomial Calculator

Verwenden Sie diesen binomialen Verteilungsrechner, wenn Sie Wahrscheinlichkeiten für Situationen berechnen müssen, die Folgendes betreffen:

Eine feste Anzahl von Versuchen
Unabhängige Ereignisse (das Ergebnis einer Studie beeinflusst nicht andere)
Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit in allen Versuchen
Nur zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch (Erfolg/Versagen)

Konzept

Binome Verteilungsformel

Die binomiale Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche beschreibt, jeweils mit der gleichen Erfolgswahrscheinlichkeit.

Formel:

P(X = k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Wo:

P(X = k) ist die Wahrscheinlichkeit von k Erfolgen
C(n,k) ist die Anzahl der Kombinationen
p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit
n die Zahl der Versuche
k die Zahl der Erfolge

Schritte

Wie die Binomielle Wahrscheinlichkeit zu berechnen

Um die binomiale Wahrscheinlichkeit zu berechnen, folgen Sie diesen Schritten:

1
Bestimmung der Anzahl der Versuche (n)
2
Anzahl der Erfolge (k)
3
Angabe der Erfolgswahrscheinlichkeit (p)
4
Anwendung der binomialen Wahrscheinlichkeitsformel

Leitfaden

Binomielle Wahrscheinlichkeit interpretieren

Verstehen, was die binomiale Wahrscheinlichkeit Ihnen sagt:

1

Hohe Wahrscheinlichkeit:
Zeigt an, dass die beobachtete Anzahl der Erfolge wahrscheinlich auftreten.
2

Niedrige Wahrscheinlichkeit:
Zeigt an, dass die beobachtete Anzahl der Erfolge unwahrscheinlich ist.
3

Voraussichtlicher Wert:
Die erwartete Anzahl der Erfolge ist n * p.

Beispiele

Praktische Beispiele

Beispiel 1Farbe: weiß

Was ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 Köpfe in 5 Münztönen zu bekommen?

n = 5, k = 3, p = 0.5

Wahrscheinlichkeit = 0,3125

Das bedeutet, es gibt eine 31,25% Chance, genau 3 Köpfe zu bekommen.

Beispiel 2Testfragen

Was ist die Wahrscheinlichkeit, genau 4 richtige Antworten in einem 10-Frage Multiple-Choice-Test (5 Optionen pro Frage) zu bekommen?

n = 10, k = 4, p = 0.2

Wahrscheinlichkeit = 0,0881

Das bedeutet, dass es eine 8,81% Chance gibt, genau 4 richtige Antworten zu bekommen.

Beispiel 3Qualitätskontrolle

Was ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 fehlerhafte Gegenstände in einer Probe von 20 Punkten zu finden, wenn die Defektrate 5% beträgt?

n = 20, k = 2, p = 0.05

Wahrscheinlichkeit = 0,1887

Das bedeutet, dass es eine 18,87% Chance gibt, genau 2 fehlerhafte Artikel zu finden.

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