Summationsrechner

Berechnen Sie die Summe einer Sequenz mit Sigma-Notation.

Rechner

Geben Sie Ihren Ausdruck

Geben Sie einen mathematischen Ausdruck mit 'n' als Variable ein (z.B. n^2 + 2*n + 1)

Inhaltsverzeichnis

1 Verstehen von Summation Notation
2 Summationsformel
3 Wie zu berechnen Summation
4 Summation - Praxisbeispiele
Vollständiger Leitfaden

Verstehen von Summation Notation

Einführung in die Summation Notation

Summation notation, repräsentiert durch den griechischen Buchstaben sigma (Σ), ist ein leistungsfähiges mathematisches Kurzhand verwendet, um die Addition einer Sequenz von Zahlen oder Begriffen auszudrücken. Die Notation kondensiert elegant, was sonst langwierige Ausdrücke sein würde, wodurch komplexe Berechnungen überschaubarer und präziser werden.

Standard Sigma Notation:
Σ(i=m bis n) f(i) = f(m) + f(m+1) + f(m+2) + f(n)

Komponenten der Summation Notation

  • Das Sigma-Symbol (Σ)- Repräsentiert die Operation der Summation
  • Indexvariable (i)- Ja. Die Variable, die sich mit jedem Begriff ändert
  • Untergrenze (m)- Ja. Der Ausgangswert des Index
  • Obergrenze (n)- Ja. Der Endwert des Index
  • Funktion oder Ausdruck f(i)- Ja. Die auf jeden Wert des Index angewandte Formel

Schlüsseleigenschaften der Summation

Diese Eigenschaften zu verstehen hilft, Berechnungen zu vereinfachen und Summationen zu manipulieren:

Konzessionsgebiet

Σ(i = m bis n) c = c + c + ... + c = c·(n-m+1)

Wo c eine Konstante ist.

Verteiltes Eigentum

Σ(i=m bis n) [f(i) + g(i)] = Σf(i) + Σg(i)

Summe der Funktionen entspricht der Summe der einzelnen Summen.

Scalar Multiplikation

Σ(i=m bis n) c·f(i) = c·Σ(i=m bis n) f(i)

Konstanten können aus der Summe faktorisiert werden.

Index Shifting

Σ(i=m bis n) f(i) = Σ(j=m+k bis n+k) f(j-k)

Die gleiche Summe mit verschobenen Indizes.

Allgemeine Summation Formeln

Diese Standardformeln speichern Zeit bei der Berechnung bestimmter Summentypen:

Summe der ersten n natürlichen Zahlen

Σ(i=1 bis n) i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

Summe der Quadrate

Σ(i=1 bis n) i2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6

Summe der Würfel

Σ(i=1 bis n) i3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = [n(n+1)/2]2

Typ der Sonderserien

Verschiedene Arten von Sequenzen führen zu unterschiedlichen Summenformeln:

Arithmetik Serie

Für eine arithmetische Sequenz mit erstem Begriff a und gemeinsamem Unterschied d:

Σ(i=1 bis n) [a + (i-1)d] = n/2 * [2a + (n-1)d] = n/2 * (erster Terminus + letzter Terminus)

Geometrische Serie

Für eine geometrische Sequenz mit erstem Begriff a und gemeinsamem Verhältnis r:

Σ(i=1 bis n) ar^(i-1) = a(1-r^n)/(1-r) für r≠1

Wann |r|< 1, the sum of an infinite geometric series is:

Σ(i=1 bis ∞) ar^(i-1) = a/(1-r)

Fortgeschrittene Absaugtechniken

Bei der Arbeit mit komplexen Summen können diese Methoden hilfreich sein:

Telekopierer Serie

Eine Telescoping-Serie ist eine, in der Zwischenkonditionen stornieren, wenn erweitert, nur einige Begriffe. Zum Beispiel:

Σ(i=1 bis n) [1/i - 1/(i+1)] = 1 - 1/(n+1)

Zweifache Summation

Bei der Arbeit mit mehreren Indizes (wie bei Matrizen):

Σ(i=1 bis m) Σ(j=1 bis n) a_ij

Anwendungen der Summation

Summation notation hat weit verbreitete Anwendungen in der Mathematik und anderen Disziplinen:

  • Statistik- Berechnungsmittel, Varianzen und Standardabweichungen
  • Kalkül- Riemann-Summen für nähende Integrale
  • Finanzen- Zins- und Wertberechnungen
  • Physik- Summenkräfte, Energien oder andere physikalische Größen
  • Informatik- Algorithmenanalyse und Rechenkomplexität
Pro Tipp:
Bei der Lösung komplexer Summen versuchen Sie, sie in einfachere Teile mit der Verteilungseigenschaft zu brechen oder nach Mustern zu suchen, die bekannten Formeln entsprechen. Üben Sie mit Grundsummen, bevor Sie komplexere Ausdrücke anpacken.
Konzept

Summationsformel

Die Summation (Sigma-Notation) stellt die Summe einer Termefolge dar. Es wird durch den griechischen Buchstaben sigma (Σ) bezeichnet.

Formel:
Σ(n=a bis b) f(n) = f(a) + f(a+1) + ... + f(b)
Schritte

Wie zu berechnen Summation

Um eine Summe zu berechnen, folgen Sie diesen Schritten:

  1. 1
    Geben Sie den Ausdruck mit 'n' als Variable ein
  2. 2
    Geben Sie den Startwert an (unter gebunden)
  3. 3
    Den Endwert angeben (ober gebunden)
  4. 4
    Berechnen Sie die Summe aller Begriffe von Anfang bis Ende

Zum Beispiel, um die Summe von n2 von 1 bis 5 zu finden:

Beispiel Berechnung:
Σ(n=1 bis 5) n2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
Beispiele

Summation - Praxisbeispiele

Beispiel 1Summe der natürlichen Zahlen

Berechnen Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 10.

Σ(n=1 bis 10) n = 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55

Beispiel 2Summe der Quadrate

Berechnen Sie die Summe der Quadrate von 1 bis 5.

Σ(n=1 bis 5) n2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55

Beispiel 3Arithmetische Sequenz

Berechnen Sie die Summe der arithmetischen Sequenz 2n + 1 von 1 bis 5.

Σ(n=1 bis 5) (2n + 1) = (2*1 + 1) + (2*2 + 1) + ... + (2*5 + 1) = 35

Werkzeuge

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