Harmonisches Mittelrechner

Was ist das Harmonische Mittel?

Das harmonische Mittel ist neben dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel eine der drei Pythagoren Mittel. Es ist definiert als die Gegenseitigkeit des arithmetischen Mittels der Gegenseitigkeit eines Satzes positiver Zahlen.

Während das arithmetische Mittel jedem Wert gleich Gewicht gibt, ergibt das harmonische Mittel jedem Wert gleich Gewicht. Dies macht es besonders nützlich für Mittelungsraten und -verhältnisse.

Mathematische Definition

Für einen Satz positiver Zahlen x1, x2, ..., xn wird der harmonische Mittelwert (HM) berechnet als:

Sonderfall: Harmonische Bedeutung von zwei Zahlen

Für nur zwei Zahlen a und b kann das harmonische Mittel vereinfacht werden:

Beziehung mit anderen Mitteln

Für eine bestimmte Menge positiver Zahlen (mit mindestens einem Paar ungleicher Werte) folgen die drei Pythagoren immer dieser Ungleichheit:

Für zwei positive Zahlen werden diese Mittel durch:

Eigenschaften des Harmonischen Mittels

• Der harmonische Mittelwert ist immer kleiner oder gleich dem geometrischen Mittelwert
• Der harmonische Mittelwert wird durch kleine Werte im Datensatz stark beeinflusst
• Alle Werte müssen positiv sein (nicht-Null) für das harmonische Mittel berechnet werden
• Sind alle Werte gleich, so entspricht der harmonische Mittelwert dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel
• Das harmonische Mittel ist die Gegenseitigkeit des arithmetischen Mittels der Gegenseitigkeit

Anwendungen des Harmonischen Mittels

Das harmonische Mittel hat zahlreiche praktische Anwendungen auf verschiedenen Gebieten:

1. Durchschnittliche Geschwindigkeitsberechnung:Bei gleicher Strecke mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ist die mittlere Geschwindigkeit das harmonische Mittel dieser Geschwindigkeiten.
2. Elektrotechnik:Berechnung des Ersatzwiderstandes von parallel geschalteten Widerständen.
3. Physik:Bestimmung von Durchschnittsdichten und anderen physikalischen Eigenschaften.
4. Finanzen:Berechnen von mittleren Vielfachen wie dem Preis-Earnings (P/E)-Verhältnis.
5. Maschinenlernen:Die Berechnung der F1-Score (harmonisches Mittel der Präzision und des Rückrufs) bei Klassifizierungsproblemen.
6. Hydrologie:Mittels hydraulischer Leitfähigkeitswerte für die Strömung senkrecht zu Schichten.

Historischer Kontext

The concept of harmonic mean dates back to ancient mathematics. The term "harmonic" comes from the field of music, where the harmonic mean was used to describe musical intervals. The Pythagoreans discovered that if a string is divided in the ratio a:b, the note produced is a harmonic mean of the notes produced by strings of lengths a and b.

Harmonische Zahlen

Ein damit verbundenes Konzept ist die als H(n) bezeichnete harmonische Zahl, die die Summe der Gegensätze der ersten n natürlichen Zahlen ist:

Die harmonische Zahl ist mit dem harmonischen Mittel der ersten n positiven Zahlen verknüpft:

Diese Beziehung zeigt, dass das harmonische Mittel der ersten n positiven Zahlen n durch die n. harmonische Zahl geteilt ist.

Der harmonische Mittelwert wird als Gegenwert des arithmetischen Mittels der Gegensätze der Zahlen berechnet. Es ist besonders nützlich für die Berechnung der Durchschnittsraten, vor allem im Umgang mit Veränderungsraten.

Um das harmonische Mittel zu berechnen, folgen Sie diesen Schritten:

1. 1
   Nehmen Sie das Gegenstück jeder Zahl (1/x)
2. 2
   Finden Sie das arithmetische Mittel dieser Gegensätze
3. 3
   Nehmen Sie die Gegenseitigkeit des Ergebnisses

Zum Beispiel, um das harmonische Mittel von 2, 4, 8 zu finden: