Harmonisches Mittelrechner

Was ist das Harmonische Mittel?

Das harmonische Mittel ist neben dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel eine der drei Pythagoren Mittel. Es ist definiert als die Gegenseitigkeit des arithmetischen Mittels der Gegensätze eines Satzes positiver Zahlen.

Während der arithmetische Mittelwert jedem Wert gleich Gewicht gibt, ergibt der harmonische Mittelwert jedem Wert gleich Gewicht. Dies macht es besonders nützlich für Mittelungsraten und -verhältnisse.

Mathematische Definition

Für einen Satz positiver Zahlen x1, x2, ..., xn wird der harmonische Mittelwert (HM) berechnet als:

Sonderfall: Harmonische Bedeutung von zwei Zahlen

Für nur zwei Zahlen a und b kann das harmonische Mittel vereinfacht werden:

Beziehung mit anderen Mitteln

Für eine bestimmte Menge positiver Zahlen (mit mindestens einem Paar ungleicher Werte) folgen die drei Pythagoren immer dieser Ungleichheit:

Für zwei positive Zahlen werden diese Mittel durch:

Eigenschaften des Harmonischen Mittels

• Der harmonische Mittelwert ist immer kleiner oder gleich dem geometrischen Mittelwert
• Der harmonische Mittelwert wird durch kleine Werte im Datensatz stark beeinflusst
• Alle Werte müssen positiv sein (nicht-Null) für das harmonische Mittel berechnet werden
• Sind alle Werte gleich, so entspricht der harmonische Mittelwert dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittelwert
• Das harmonische Mittel ist die Gegenseitigkeit des arithmetischen Mittels der Gegenseitigkeit

Anwendungen des Harmonischen Mittels

Das harmonische Mittel hat zahlreiche praktische Anwendungen auf verschiedenen Gebieten:

1. Durchschnittliche Geschwindigkeitsberechnung:Bei gleicher Entfernung bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten ist die mittlere Geschwindigkeit das harmonische Mittel dieser Geschwindigkeiten.
2. Elektrotechnik:Berechnung des Ersatzwiderstandes von parallel geschalteten Widerständen.
3. Physik:Bestimmung von Durchschnittsdichten und anderen physikalischen Eigenschaften.
4. Finanzen:Berechnung mittlerer Vielfache wie das Preis-Ergebnis (P/E)-Verhältnis.
5. Maschinenlernen:Die Berechnung der F1-Score (harmonisches Mittel der Präzision und der Rückruf) bei Klassifizierungsproblemen.
6. Hydrologie:Mittels hydraulischer Leitfähigkeitswerte für die Strömung senkrecht zu Schichten.

Historischer Kontext

The concept of harmonic mean dates back to ancient mathematics. The term "harmonic" comes from the field of music, where the harmonic mean was used to describe musical intervals. The Pythagoreans discovered that if a string is divided in the ratio a:b, the note produced is a harmonic mean of the notes produced by strings of lengths a and b.

Harmonische Zahlen

Ein damit verbundenes Konzept ist die harmonische Zahl, die als H(n) bezeichnet wird, die Summe der Gegensätze der ersten n natürlichen Zahlen:

Die harmonische Zahl steht im Zusammenhang mit dem harmonischen Mittel der ersten n positiven Zahlen:

Diese Beziehung zeigt, dass das harmonische Mittel der ersten n positiven Zahlen n durch die n. harmonische Zahl geteilt ist.

Der harmonische Mittelwert wird als Gegenwert des arithmetischen Mittels der Gegensätze der Zahlen berechnet. Es ist besonders nützlich für die Berechnung der Durchschnittsraten, insbesondere bei der Behandlung von Veränderungsraten.

Um das harmonische Mittel zu berechnen, folgen Sie diesen Schritten:

1. 1
   Nehmen Sie die Gegenzahl jeder Nummer (1/x)
2. 2
   Finden Sie das arithmetische Mittel dieser Gegensätze
3. 3
   Nehmen Sie die Gegenseitigkeit des Ergebnisses

Zum Beispiel, um das harmonische Mittel von 2, 4, 8 zu finden: