Geometrischer Mittelrechner
Berechnen Sie das geometrische Mittel eines Satzes positiver Zahlen.
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Inhaltsverzeichnis
Geometric verstehen Mittel
Das geometrische Mittel ist eine Art Mittel, die die zentrale Tendenz einer Anzahl von Zahlen darstellt, indem sie ihr Produkt anstelle ihrer Summe verwenden. Es ist besonders nützlich für Datensätze mit Werten, die sich durch Multiplikation (wie Wachstumsraten) ändern, anstatt durch Addition.
Was ist Geometric Mean?
Der geometrische Mittelwert ist definiert als die nte Wurzel des Produkts von n Zahlen. Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel (das Werte addiert und durch den Zählerstand teilt), multipliziert der geometrische Mittelwert alle Werte zusammen und nimmt dann die entsprechende Wurzel.
Schlüsseleigenschaften des geometrischen Mittels:
- Es ist immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel (die Qualität tritt nur dann ein, wenn alle Werte identisch sind)
- Es ist nur für positive Zahlen definiert
- Es wird weniger von Extremwerten beeinflusst als der arithmetische Mittelwert
- Wird jeder Wert in einem Datensatz durch den geometrischen Mittelwert ersetzt, bleibt sein Produkt unverändert
Unterschiede zwischen Arithmetik und geometrischem Mittel
| Aspekte | Arithmetische Mittel | Geometrisches Mittel |
|---|---|---|
| Formel | (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n | (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) |
| Betrieb | Addition dann Division | Multiplikation dann Wurzel |
| Das Beste für | Lineare Daten, absolute Änderungen | Expositionsdaten, Wachstumsraten |
| Beispiel | Durchschnittliche Testergebnisse | Durchschnittliche Investitionsrendite |
Anwendungen des geometrischen Mittels
Der geometrische Mittelwert wird in verschiedenen Bereichen weit verbreitet:
- Finanzen:Berechnung der durchschnittlichen Investitionsrendite und der jährlichen Wachstumsraten (CAGR)
- Biologie:Analyse des Bevölkerungswachstums, bakterielle Wachstumsraten und biologischer Prozesse
- Geometrie:Die Seitenlänge eines Quadrats mit der gleichen Fläche wie ein Rechteck finden
- Statistik:Analyse von Datensätzen mit exponentiellem Verhalten oder proportionalen Beziehungen
- Wirtschaft:Durchschnittliche Wachstumsraten und Preisindizes
Geometrisches Mittel in der Geometrie
In der Geometrie hat das geometrische Mittel eine besondere Bedeutung. Für ein rechtes Dreieck, wenn eine Höhe aus dem rechten Winkel zur Hypotenuse gezogen wird, ist die Länge der Höhe das geometrische Mittel der Segmente der Hypotenuse. Dies ist als geometrisches Mitteltheorem bekannt.
Beziehung mit anderen Mitteln:
Für jede Menge positiver realer Zahlen gilt folgende Ungleichheit:
Harmonisches Mittel ≤ geometrisches Mittel ≤ Arithmetische Mittel
Diese Beziehung wird als AM-GM-HM-Ungleichheit bezeichnet, und die Gleichheit tritt nur dann ein, wenn alle Werte im Set identisch sind.
Mathematical Proof von AM-GM Ungleichheit
Die AM-GM-Ungleichheit besagt, dass das arithmetische Mittel eines Satzes nicht-negativer Realzahlen größer oder gleich dem geometrischen Mittelwert dieser Zahlen ist. Hier ist ein Beweis für zwei Zahlen:
Für alle zwei positiven Zahlen a und b:
(a - b)² ≥ 0
a² - 2ab + b² ≥ 0
a² + 2ab + b² ≥ 4ab
(a + b)² ≥ 4ab
a + b ≥ 2√ab
(a + b)/2 ≥ √ab
Dies beweist, dass der arithmetische Mittelwert (a + b)/2 größer oder gleich dem geometrischen Mittelwert √ab ist, bei Gleichheit, wenn und nur, wenn a = b.
Alternative Berechnung Methoden
Für große Datensätze oder Zahlen mit vielen Ziffern kann die Berechnung des geometrischen Mittels direkt zu rechnerischen Herausforderungen aufgrund sehr großer Produkte führen. Ein alternativer Ansatz verwendet Logarithmen:
- Nehmen Sie das Logarithmus jeder Nummer im Datensatz
- Berechnen des arithmetischen Mittels dieser Logarithmen
- Nehmen Sie das Antilogarithm (Exponentiation) dieses Mittels
GM = exp((log(x1) + log(x2) + ... + log(xn))/n)
gewichtete geometrische Mittel
Ähnlich wie bei dem gewichteten arithmetischen Mittel können wir ein gewichtetes geometrisches Mittel berechnen, wenn verschiedene Werte unterschiedliche Werte haben:
GM = (x1^w1 × x2^w2 × ... × xn^wn)^(1/(w1+w2+...+wn))
Wo w1, w2, ..., wn sind die Gewichte, die jedem Wert zugeordnet sind.
Erweiterte Anwendungen
Finanzen und Wirtschaft
Der geometrische Mittelwert ist wesentlich für die Berechnung der jährlichen Wachstumsrate (CAGR) der Investitionen:
CAGR = (Endwert / Anfangswert)^(1/n) - 1
Wo n die Anzahl der Jahre ist.
Zum Beispiel, wenn eine Investition von $1.000 auf $1.610 über 5 Jahre wächst, ist die CAGR:
CAGR = (1610/1000)^(1/5) - 1 = 1,1^(1/5) - 1 = 0,10 oder 10%
In der Bildbearbeitung
Das geometrische Mittelfilter wird in der digitalen Bildverarbeitung verwendet, um bestimmte Geräuscharten zu reduzieren, während die Kanteneigenschaften erhalten bleiben, im Gegensatz zu arithmetischen Mittelfiltern, die zu stumpfen Kanten neigen.
In Akustik und Audiotechnik
Das geometrische Mittel dient zur Berechnung der Mittenfrequenz von Audiofrequenzbändern, insbesondere in Equalizern und Audioanalysewerkzeugen.
Mittenfrequenz = √(f1 × f2)
Bei f1 und f2 handelt es sich um die untere und obere Frequenzgrenze.
Geometric Mean in Data Science
In der Datenwissenschaft und beim maschinellen Lernen ist der geometrische Mittelwert wertvoll für:
- Normalisierte Genauigkeitsmetriken:Bei der Kombination mehrerer Klassifikationsmetriken
- Ensemblemethoden:Kombination von Vorhersagen aus mehreren Modellen
- Feature Skalierung:Normalisieren von Merkmalen mit multiplikativen Beziehungen
- Anomalie-Erkennung:Identifizierung von Ausreißern in multiplikativen Daten
Wann wählen Sie geometrische Mittel über Arithmetische Mittel:
- Bei Prozentsätzen, Verhältnissen oder Raten
- Bei der Analyse des Wachstums über mehrere Perioden
- Wenn Werte multiplikative Beziehungen anstatt Additivs haben
- Wenn extreme Werte einen arithmetischen Mittelwert skewieren könnten
- Bei der Berechnung von Durchschnittsfaktoren oder Multiplikatoren
Geometrische Mittelformel
Der geometrische Mittelwert wird berechnet, indem die n. Wurzel des Produkts von n Zahlen genommen wird. Besonders nützlich ist die Berechnung der durchschnittlichen Veränderungsraten oder Wachstumsraten.
Wie geometrische Mittel zu berechnen
Um den geometrischen Mittelwert zu berechnen, folgen Sie diesen Schritten:
-
1Multiply alle Zahlen zusammen
-
2Zählen Sie, wie viele Zahlen in Ihrem Datensatz sind
-
3Nehmen Sie die neunte Wurzel des Produktes
Zum Beispiel, um das geometrische Mittel von 2, 4, 8 zu finden:
Geometrisches Mittel - praktische Beispiele
Beispiel 1Kapitalrendite
Eine Investition wächst um 10%, 20% und 15% über drei Jahre. Wie ist die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate?
Geometrisches Mittel = (1.10 × 1.20 × 1.15)^(1/3) = 1.1487 = 14.87%
Beispiel 2Bevölkerungswachstum
Eine Bevölkerung wächst von 1000 bis 1500 über 5 Jahre. Wie ist die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate?
Wachstumsrate = (1500/1000)^(1/5) = 1.0845 = 8.45%
Beispiel 3Rechteck Abmessungen
Ein Rechteck hat Seiten von 4 und 9. Was ist die Seitenlänge eines Quadrats mit der gleichen Fläche?
Geometrisches Mittel = √(4 × 9) = √36 = 6