Oktagon Flächenrechner

Einführung in Octagons

The octagon is a fascinating geometric shape with rich mathematical properties and numerous real-world applications. Derived from the Greek words "okto" (eight) and "gonia" (angle), an octagon is an eight-sided polygon that has captured attention throughout history for its symmetry, structure, and aesthetic appeal.

Definition und Eigenschaften

Ein reguläres Achteck ist ein Polygon mit acht gleichen Seiten und acht gleichen Winkeln. Jeder Innenwinkel eines regulären Oktons misst genau 135° (berechnet als (8-2) × 180° ÷ 8), während jeder Außenwinkel 45° beträgt. Die Summe aller Innenwinkel beträgt immer 1080°, unabhängig von der Größe des Oktons.

Alle regelmäßigen Oktgone sind konvexe Polygone, das heißt, dass alle Innenwinkel weniger als 180° sind und alle Vertiken nach außen weisen. Der hohe Symmetriegrad in regelmäßigen Oktgonen macht sie besonders in der Konstruktion und im Aufbau nützlich.

Mathematische Eigenschaften

Das Achteck besitzt mehrere wichtige mathematische Eigenschaften, die es von anderen Polygonen unterscheiden:

• Ein reguläres Achteck hat 8 Symmetrielinien - 4 durch gegenüberliegende Vertiken und 4 durch die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten.
• Es hat Rotationssymmetrie der Ordnung 8, d.h. es kann in 8 verschiedenen Wegen gedreht werden und sieht immer noch gleich aus.
• Die Fläche eines regulären Oktons mit Seitenlänge 's' kann mit der Formel berechnet werden: A = 2(1 + √2) × s2.
• Der Umfang wird einfach als das 8-fache der Seitenlänge berechnet.
• Ein Oktgon kann aus einem Quadrat durch Abschneiden (abschneiden) seiner Ecken gebaut werden.

Diagonale und interne Messungen

Ein reguläres Oktgon hat insgesamt 20 Diagone. Diese Diagonalen können auf der Grundlage ihrer Längen in drei verschiedene Arten klassifiziert werden:

• Kurzdiagonalen:Vertikale mit einem Scheitel verbinden. Länge = s × √(2 + √2), wobei s die Seitenlänge ist.
• Mitteldiagonalen:Vertices mit zwei Vertices dazwischen verbinden. Länge = s × (1 + √2).
• Lange Diagonale:Konnektivieren Sie entgegengesetzte Vertikale. Länge = s × √(4 + 2√2).

Das Oktgon kann auch in einem Kreis (umgeschrieben) beschriftet werden oder einen Kreis darin beschriftet haben. Der Radius des umschriebenen Kreises (Circumradius) ist die halbe Länge der langen Diagonale, während der Radius des beschrifteten Kreises (Inradius) die halbe Länge der mittleren Diagonale beträgt.

Real-World Anwendungen

Octagons erscheinen häufig in unserer täglichen Umgebung und dienen verschiedenen praktischen Zwecken:

• Verkehrszeichen:Das allgemein anerkannte Stoppzeichen ist als reguläres Achteck geformt, wodurch es auch aus einer Entfernung oder in schlechter Sicht sofort identifizierbar ist.
• Architektur:Octagonal structures appear in buildings worldwide, such as the famous "Octagon House" in Washington D.C., gazebos, towers, and cupolas. The octagonal shape allows for increased stability while providing panoramic views.
• Bodenbearbeitung:Octagon Fliesen werden häufig in Bodengestaltungen verwendet, oft kombiniert mit quadratischen Fliesen, um visuell ansprechende Muster ohne Lücken zu erstellen.
• Kamera Design:Viele Kamerablenden verwenden eine achteckige Blende, die die Bokeh (außer-Fokus-Bereiche) in Fotografien beeinflusst. Beim Fotografieren von hellen Lichtquellen erzeugt die achteckige Blende einen achteckigen Sterneffekt.
• Währung:Einige Münzen, wie die UK 50 Pence und 20 Pence-Münzen, basieren auf gebogenen Octagon (Reuleaux heptagons).

Wie man eine regelmäßige Octagon zeichnet

Es gibt mehrere Methoden, um ein normales Oktgon zu bauen:

1. Von einem Kreis:Zeichnen Sie einen Kreis und teilen Sie ihn in acht gleiche Bogen mit einem Protrahierer (45° Intervalle). Verbinden Sie die benachbarten Punkte mit geraden Linien.
2. Von einem Platz:Einen Platz zeichnen. Markieren Sie den Mittelpunkt jeder Seite. Von jeder Ecke des Quadrates ziehen Sie Linien in 45° Winkel zur Mitte hin, bis sie sich mit den Linien von den Mittelpunkten schneiden.
3. Mit einem Kompass und einer Richte:Einen Kreis zeichnen. Zeichne zwei senkrechte Durchmesser, um den Kreis in vier gleiche Teile zu teilen. Dann biss jedes dieser Teile, um acht äquidistante Punkte auf dem Kreis zu erhalten. Verbinden Sie benachbarte Punkte mit geraden Linien.

Interessante Fakten

• In islamischer Kunst und Architektur repräsentieren achtseitige Sterne und Achteckige kosmische Harmonie und die acht Engel, die den Thron Gottes am Tag des Gerichts unterstützen werden.
• In feng shui ist das Oktgon (ba gua) ein grundlegendes Symbol zur Analyse der Energie der Räume.
• Das United States Patent and Trademark Office Gebäude in Alexandria, Virginia, verfügt über ein achteckiges Design.
• Das Oktgon erscheint in verschiedenen religiösen Gebäuden, wie taufische Schriften und Kirchtürme, oft symbolisieren Regeneration und Auferstehung.