函数计算出错
计算任何实数的错误函数(erf)和辅助错误函数(erfc).
计算出错函数
错误函数综合指南
出错函数(erf)是一种基本的数学特殊函数,在多个学科中具有深远的影响. 它由研究概率理论的数学家于19世纪所引入,从此成为了统计,物理,工程,应用数学中不可或缺的工具.
数学定义和属性
错误函数被正式定义为:
这个非基本构件代表着一个正态分布为正0和相差为1/2的随机变量在相差范围 [-x, x] 的概率. 该函数有几种显著属性:
- 这是一个奇怪的函数: erf (-x) = -erf (x)
- 它有限制: erf (0) = 0 和 erf (∞) = 1
- 其衍生词为: (d/dx)erf (x) = (2/√π)e^ (-x2)
- 其泰勒系列扩展为: erf(x) = (2/√π) Σ (n=0) ^∞ ((-1)^n· (2n+1))/ ((2n+1)·
与其他职能的关系
出错函数与几个重要的数学函数密切相关:
辅助错误函数
erfc(x) = 1 - erf(x)
正常分布
Φ (x) = (1/2) (1 + erf (x/√2))
Q 函数
Q(x)=(1/2/erfc(x/√2))
想象错误函数
erfi(x)=-i-erf(九) 互联网档案馆的存檔,存档日期2013-12-02
数值计算
虽然错误函数在基本函数方面没有闭合形式表达,但存在几个准确的数字近似值:
- 阿布拉莫维茨和斯德贡近似: erf(x)≈ 1 - (a1t + a2t2 + a3t3)e ^ (-x2) 其中t = 1/ (1+px)
- erfc(x) 继续分数扩展
- 小值为x的泰勒系列
- X 大值的不对称扩展
科学和工程方面的应用
错误函数出现在多个字段:
概率 理论
用于计算通常分布的随机变量和置信间隔的概率.
统计
出现在假说测试,不确定性量化和回归分析中.
物理学
用于扩散过程,热力学,和量子力学.
信号处理
在数字通信、出错检测和校正系统方面具有重要意义。
热量转移
热和传播等式的解决方案往往涉及出错功能.
金融数学
在Black-Scholes模型中用于期权定价和风险评估.
历史发展
The error function was first introduced by J.W.L. Glaisher in 1871, though the study of related integrals dates back to earlier mathematicians. The name "error function" comes from its connection to the theory of measurement errors in astronomy and geodesy, where normal distributions were first applied to model observational errors.
高级主题
复杂分析
出错函数可以被延伸至复杂的平面,从而产生出复杂的出错函数. 功能是完整的(各地的全貌),除了无穷无尽的外,没有独有.
重排的组件
互补出错函数的重复集成生成了被更新的组件 ierfc(x), i2erfc(x)等,这些组件在时间依赖的传播上存在应用.
Faddeeva 函数
复杂出错函数一般作为Faddeeva函数的缩放形式来讨论:w(z)=e^(-z2)erfc(-iz),在计算物理和光谱学中很重要.
你知道吗?
高斯构件 QQ( QQ)QQ e^ (- x2) dx=QQ 与出错函数密切相关. 虽然出错函数没有基本的闭合形式,但这个确定的组件有一个优雅的闭合形式解决方案,可以通过巧妙地改变极地坐标来证明.
什么是错误函数?
出错函数(erf)是一种特殊函数,出现在概率,统计和部分微分等式中. 它被定义为高斯函数的组成部分并和正态分布有关.
- 高斯函数集成
- 与正常分配有关
- 在概率理论中使用
- 对统计很重要
属性
对称
erf (-x)= -erf (x) (英语)
限制
erf (0) = 0, erf (∞) = 1
辅助性
erfc(x) = 1 - erf(x)
范围
-1 er(x) ≤ 1
错误函数公式
错误函数由以下组件定义:
地点:
- x 是输入值
- π为皮(约合 3.14159)
- e是欧拉的号码(约2.71828)
应用程序
概率正常分发
用于计算正常分布中的概率并寻找置信间隔.
物理学热量转移
用于解决热传导问题和扩散等式.
工程学信号处理
用于数字信号处理和通信理论.