Калькулятор Octagon Area

Введение в Octagons

The octagon is a fascinating geometric shape with rich mathematical properties and numerous real-world applications. Derived from the Greek words "okto" (eight) and "gonia" (angle), an octagon is an eight-sided polygon that has captured attention throughout history for its symmetry, structure, and aesthetic appeal.

Определение и свойства

Обычный восьмиугольник представляет собой многоугольник с восемью равными сторонами и восемью равными углами. Каждый внутренний угол обычного восьмиугольника измеряет ровно 135 ° (рассчитывается как (8-2) × 180° ÷ 8), в то время как каждый внешний угол измеряет 45 °. Сумма всех внутренних углов всегда составляет 1080°, независимо от размера восьмиугольника.

Все обычные восьмиугольники представляют собой выпуклые многоугольники, то есть все внутренние углы меньше 180° и все вершины указывают наружу. Высокая степень симметрии в обычных восьмиугольниках делает их особенно полезными в проектировании и строительстве.

Математические свойства

Октагон обладает несколькими важными математическими свойствами, которые отличают его от других многоугольников:

• Обычный восьмиугольник имеет 8 линий симметрии — 4 проходящих через противоположные вершины и 4 проходящих через средние точки противоположных сторон.
• Он имеет вращательную симметрию порядка 8, что означает, что он может вращаться 8 различными способами и по-прежнему выглядеть одинаково.
• Площадь обычного восьмиугольника с длиной стороны 's' можно вычислить по формуле: A = 2(1 + √2) × s2.
• Периметр просто вычисляется в 8 раз больше длины стороны.
• Октагон может быть построен из квадрата путем усечения (отсечения) его углов.

Диагонали и внутренние измерения

Обычный восьмиугольник имеет в общей сложности 20 диагонали. Эти диагонали можно разделить на три различных типа в зависимости от их длины:

• Короткие диагонали:Соедините вершины с одной вершиной между ними. Длина = s × √ (2 + √2), где s — длина стороны.
• Средние диагонали:Соедините вершины с двумя вершинами между ними. Длина = s × (1 + √2).
• Длинные диагонали:Соедините противоположные вершины. Длина = s × √ (4 + 2√2).

Октагон также может быть вписан в круг (обрезан) или иметь круг, вписанный в него. Радиус окружности (circumradius) составляет половину длины длинной диагонали, в то время как радиус окружности (inradius) составляет половину длины средней диагонали.

Приложения реального мира

Октагоны часто появляются в нашей повседневной среде и служат различным практическим целям:

• Дорожные знаки:Общепризнанный знак стоп имеет форму обычного восьмиугольника, что делает его мгновенно идентифицируемым даже на расстоянии или при плохой видимости.
• Архитектура:Octagonal structures appear in buildings worldwide, such as the famous "Octagon House" in Washington D.C., gazebos, towers, and cupolas. The octagonal shape allows for increased stability while providing panoramic views.
• Пол Тилинг:Плитка Octagon обычно используется в конструкциях полов, часто в сочетании с квадратной плиткой для создания визуально привлекательных узоров без зазоров.
• Дизайн камеры:Многие диафрагмы камеры используют восьмиугольную диафрагму, которая влияет на боке (внефокусные области) на фотографиях. При фотографировании ярких источников света восьмиугольная апертура создает восьмиконечный звездный эффект.
• Валюта:Некоторые монеты, такие как британские монеты 50 пенсов и 20 пенсов, основаны на изогнутых восьмиугольниках.

Как нарисовать обычный октагон

Существует несколько способов построения обычного восьмиугольника:

1. Из круга:Нарисуйте круг и разделите его на восемь равных дуг с помощью протрактора (интервалы 45°). Соедините смежные точки прямыми линиями.
2. С площади:Нарисуй квадрат. Отметьте середину каждой стороны. Из каждого угла квадрата рисуйте линии под углом 45° к центру, пока они не пересекаются с линиями из средних точек.
3. Использование компаса и прямоугольника:Нарисуйте круг. Нарисуйте два перпендикулярных диаметра, чтобы разделить круг на четыре равные части. Затем разделите каждую из этих частей пополам, чтобы получить восемь равноудаленных точек на окружности. Соедините смежные точки прямыми линиями.

Интересные факты

• В исламском искусстве и архитектуре восьмигранные звезды и восьмиугольники символизируют космическую гармонию и восемь ангелов, которые будут поддерживать престол Бога в Судный день.
• В фэн-шуй восьмиугольник (ба гуа) является фундаментальным символом, используемым для анализа энергии пространств.
• Здание Управления по патентам и товарным знакам США в Александрии, штат Вирджиния, имеет восьмиугольный дизайн.
• Октагон появляется в различных религиозных зданиях, таких как купели для крещения и церковные башни, часто символизирующие возрождение и воскресение.