Kalkulator funkcji błędu
Obliczyć funkcję błędu (erf) i uzupełniającą funkcję błędu (erfc) dla dowolnej liczby rzeczywistej.
Oblicz funkcję błędu
Spis treści
Kompleksowy przewodnik po funkcjach błędów
Funkcja błędu (erf) jest podstawową matematyczną funkcją specjalną o głębokich implikacjach w wielu dyscyplinach. Wprowadzony w XIX wieku przez matematyków studiujących teorię prawdopodobieństwa, stał się od tego czasu istotnym narzędziem w statystyce, fizyce, inżynierii i matematyce stosowanej.
Definicja i właściwości matematyczne
Funkcja błędu jest formalnie zdefiniowana jako:
Ta całka nieelementarna przedstawia prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o normalnym rozkładzie średniej 0 i wariancji 1 / 2 mieści się w zakresie [-x, x]. Funkcja posiada kilka znaczących właściwości:
- Jest to funkcja nieparzysta: erf (-x) = -erf (x)
- Ma granice: erf (0) = 0 i erf (∞) = 1
- Jej pochodną jest: (d / dx) erf (x) = (2 / Ø ∞) e ^ (-x ²)
- Jego ekspansja serii Taylor to: erf (x) = (2 / √ ∞) ∞ (-1) ^ n · x ^ (2n + 1)) / ((2n + 1) · n!)
Związek z innymi funkcjami
Funkcja błędu jest ściśle związana z kilkoma ważnymi funkcjami matematycznymi:
Funkcja błędu uzupełniającego
erfc (x) = 1 - erf (x)
Zwykła dystrybucja CDF
(x) = (1 / 2) (1 + erf (x / III2))
Funkcja Q-
Q (x) = (1 / 2) erfc (x / III2)
Funkcja błędu obrazowego
erfi (x) = -i · erf (ix)
Obliczanie liczby
Podczas gdy funkcja błędu nie posiada wyrażenia w postaci zamkniętej pod względem funkcji elementarnych, istnieje kilka dokładnych przybliżeń liczbowych:
- Zbliżenie Abramowitz i Stegun: erf (x) RR1 - (a 03t + a 03t ² + a 03t ³) e ^ (-x ²) gdzie t = 1 / (1 + px)
- Ciągłe rozszerzanie frakcji dla erfc (x)
- Seria Taylor dla małych wartości x
- Rozszerzenie objawowe dla dużych wartości x
Zastosowanie w nauce i inżynierii
Funkcja błędu pojawia się w wielu polach:
Prawdopodobieństwo Teoria
Używane do obliczania prawdopodobieństwa dla normalnie rozdzielanych zmiennych losowych i przedziałów ufności.
Statystyki
Pojawia się w testach hipotez, kwantyfikacji niepewności i analizie regresji.
Fizyka
Używany w procesach dyfuzji, termodynamice i mechanice kwantowej.
Przetwarzanie sygnałów
Ważne w komunikacji cyfrowej, wykrywaniu błędów i systemach korekcyjnych.
Transfer ciepła
Rozwiązania do równania ciepła i dyfuzji często wiążą się z funkcją błędu.
Matematyka finansowa
Używany w modelu Black- Scholes do wyceny opcji i oceny ryzyka.
Rozwój historyczny
The error function was first introduced by J.W.L. Glaisher in 1871, though the study of related integrals dates back to earlier mathematicians. The name "error function" comes from its connection to the theory of measurement errors in astronomy and geodesy, where normal distributions were first applied to model observational errors.
Zaawansowane tematy
Złożona analiza
Funkcja błędu może być rozszerzona na płaszczyznę złożoną, tworząc złożoną funkcję błędu. Funkcja jest cała (holomorficzna wszędzie), bez osobliwości z wyjątkiem nieskończoności.
Iterated Integrals
Wielokrotne integracje uzupełniającej funkcji błędu wytwarzają iteralne integrale ierfc (x), i ² erfc (x), itp., które mają zastosowania w problemach dyfuzji zależnej od czasu.
Funkcja Faddeeva
Złożona funkcja błędu jest zazwyczaj omawiana w formie skalowanej jako funkcja Faddeeva: w (z) = e ^ (-z ²) erfc (-iz), ważne w fizyce obliczeniowej i spektroskopii.
Wiedziałeś?
Integracja Gaussa jest ściśle związana z funkcją błędu. Podczas gdy funkcja błędu nie ma podstawowej zamkniętej formy, ta definiowana całka ma eleganckie zamknięte rozwiązanie formy, które można udowodnić poprzez sprytną zmianę na współrzędne biegunowe.
Co to jest funkcja Błąd?
Funkcja błędu (erf) jest funkcją specjalną, która pojawia się w równaniach prawdopodobieństwa, statystyki i częściowych równaniach różniczkowych. Jest ona zdefiniowana jako całka funkcji Gaussa i związana z rozkładem normalnym.
- Integral funkcji Gaussa
- W odniesieniu do rozkładu normalnego
- Używane w teorii prawdopodobieństwa
- Ważne w statystyce
Właściwości
Symetria
erf (-x) = -erf (x)
Granice
erf (0) = 0, erf (∞) = 1
Uzupełniające
erfc (x) = 1 - erf (x)
Zakres
-1 ≤ erf (x) ≤ 1
Formuła funkcji błędu
Funkcja błędu jest zdefiniowana przez następującą całkę:
gdzie:
- x jest wartością wejściową
- Jest pi (około 3.14159)
- e jest liczbą Eulera (około 2.71828)
Wnioski
PrawdopodobieństwoNormalna dystrybucja
Używany do obliczania prawdopodobieństwa w normalnym rozkładzie i do znalezienia przedziałów ufności.
FizykaTransfer ciepła
Używany w rozwiązywaniu problemów z przewodem cieplnym i równaniami dyfuzyjnymi.
InżynieriaPrzetwarzanie sygnałów
Używany w cyfrowej teorii przetwarzania sygnałów i komunikacji.