Kalkulator Van der Waals
Obliczyć właściwości gazu przy użyciu równania stanu Van der Waals.
Wprowadź swoje wartości
Spis treści
Zrozumienie równania van der Waals
Wprowadzenie do rzeczywistych gazów
Idealne prawo gazowe (PV = nRT) służy jako podstawowe równanie w termodynamice, ale tworzy kilka upraszczających założeń, które nie są prawdziwe dla rzeczywistych gazów, zwłaszcza przy wysokich ciśnieniach lub niskich temperaturach. W 1873 roku holenderski fizyk Johannes Diderik van der Waals zaproponował bardziej dokładne równanie stanu, które odpowiada za zachowanie rzeczywistych gazów.
Tło historyczne
Johannes Diderik van der Waals (1837- 1923) opracował swoje równanie jako część pracy doktorskiej na Uniwersytecie Leiden. W 1910 roku otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki. Van der Waals uznał, że odchylenia od idealnego zachowania gazu były spowodowane dwoma kluczowymi czynnikami: skończonym rozmiarem cząsteczek gazu i atrakcyjnymi siłami między nimi.
Ograniczenia prawa w zakresie gazu ziemnego
Idealne prawo gazowe zakłada, że:
- Cząsteczki gazu mają nieznaczną objętość
- Nie ma atrakcyjnych lub odpychających sił pomiędzy cząsteczkami
- Wszystkie kolizje pomiędzy cząsteczkami są doskonale elastyczne
- Cząsteczki poruszają się losowo bez preferowanego kierunku
Gazy rzeczywiste odbiegają od tych założeń, szczególnie w warunkach wysokiego ciśnienia lub niskiej temperatury, w których siły międzymolekularne stają się znaczące.
The Van der Waals Corrections
Równanie Van der Waals wprowadza dwa czynniki korygujące do idealnego prawa gazowego:
1. Korekta dla objętości cząsteczkowej
Parametrbodpowiada za skończoną objętość cząsteczek gazu. Rzeczywista objętość dostępna dla cząsteczek jest mniejsza niż objętość pojemnika o ilość proporcjonalną do liczby cząsteczek. Ta korekta zastępuje V (V - nb) w równaniu.
2. Korekta dla sił intermolekularnych
Parametraodpowiada za atrakcyjne siły między cząsteczkami. Siły te zmniejszają ciśnienie wywierane przez gaz na ścianach zbiornika. Ta korekta dodaje termin a (n / V) ² do ciśnienia.
Wydobywanie matematyczne
Począwszy od idealnego prawa gazowego: PV = nRT
Stosowanie korekt:
- Zastąp V (V - nb) w celu uwzględnienia objętości molekularnej
- Zastąp P (P + a (n / V) ²) w celu uwzględnienia sił intermolekularnych
To daje nam równanie Van der Waals:
Porównanie graficzne: Idealny kontra gaz real
Poniższy wykres przedstawia różnicę między idealnym prawem gazowym a równaniem Van der Waals dla typowego gazu. Izothermy (krzywe stałej temperatury) pokazują, jak ciśnienie zmienia się w zależności od objętości.
Rysunek: Porównanie zależności objętości ciśnieniowej dla gazu idealnego (niebieskie linie rozrzucone) i gazu realnego opisanego przez równanie Van der Waals (czerwone linie stałe) w różnych temperaturach. Należy zwrócić uwagę na punkt krytyczny i region przejściowy fazy gazowej.
Kluczowe obserwacje z wykresu:
- W wysokich temperaturach (górne krzywe) oba modele zachowują się podobnie
- Przy niższych temperaturach równanie Van der Waals wykazuje znaczące odchylenia od idealnego prawa gazowego
- Poniżej temperatury krytycznej (Tc), izotermy Van der Waals wykazują oscylacje odpowiadające przechodzeniu fazy między stanami ciekłymi i gazowymi
- Punkt krytyczny reprezentuje temperaturę i ciśnienie, powyżej których znika rozróżnienie między fazami ciekłymi i gazowymi
Punkty krytyczne i przejścia fazowe
Jednym z najważniejszych osiągnięć równania Van der Waals jest jego zdolność do przewidywania występowania punktów krytycznych i opisywania przejścia fazowego pomiędzy gazem a stanami ciekłymi. W punkcie krytycznym, określonym przez temperaturę krytyczną (Tc), ciśnienie krytyczne (Pc), i objętość krytyczna (Vc), różnica między fazami ciekłymi i gazowymi znika.
Krytyczne stałe można wyrazić w kategoriach parametrów Van der Waals:
- Temperatura krytyczna: Tc = 8a/27Rb
- Ciśnienie krytyczne: Pc = a/27b²
- Wielkość krytyczna: Vc = 3nb
Stałe stałe Van der Waals
Poniżej znajduje się tabela stałych Van der Waals dla wspólnych gazów. Wartości te mogą być wykorzystywane w obliczeniach do przewidywania rzeczywistego zachowania gazu.
| Gaz | a (Pa · m RRRR / mol ²) | b (10 RRRR / mol) | Temperatura krytyczna (K) |
|---|---|---|---|
| Wodór (H ∞) | 0.0247 | 2.661 | 33.2 |
| Helium | 0.00346 | 2.38 | 5.2 |
| Azot (N ′) | 0.1408 | 3.913 | 126.2 |
| Tlen (O ∞) | 0.1382 | 3.183 | 154.6 |
| Ditlenek węgla (CO) | 0.3640 | 4.267 | 304.2 |
| Amoniak | 0.4225 | 3.707 | 405.5 |
| Woda (H RRRR) | 0.5537 | 3.049 | 647.1 |
| Metan (CH) | 0.2283 | 4.278 | 190.6 |
Aplikacje w nowoczesnej nauce
Równanie Van der Waals pozostaje istotne w nowoczesnej nauce i ma zastosowania w:
- Procesy inżynierii chemicznej i projektowanie
- Systemy chłodzenia i klimatyzacji
- Przetwarzanie i transport gazu ziemnego
- Nadkrytyczne zastosowania płynów
- Modelowanie termodynamiczne złożonych systemów
Ograniczenia równania van der Waals
Podczas gdy równanie Van der Waals zapewnia lepsze przybliżenie niż idealne prawo gazowe, nadal ma ograniczenia:
- Staje się mniej dokładny przy bardzo wysokim ciśnieniu
- To nie idealnie modeluje wszystkie przejścia fazowe
- Stałe a i b są uważane za niezależne od temperatury i ciśnienia, co nie jest ściśle prawdziwe
- Bardziej skomplikowane równania stanu (jak równania Redlich- Kwong lub Peng- Robinson) mogą zapewnić lepszą dokładność dla konkretnych zastosowań
Forma obniżona i państwa odpowiadające
Równanie Van der Waals można wyrazić w kategoriach właściwości obniżonych (Pr = P/Pc, Vr = V/Vc, Tr = T/Tc), prowadząc do zasady odpowiednich państw. Zasada ta sugeruje, że wszystkie gazy zachowują się podobnie w porównaniu z tymi samymi obniżonymi warunkami, co ma istotny wpływ na modelowanie termodynamiczne.
Wgląd klucza
Równanie Van der Waals łączy idealne zachowanie gazu z skomplikowaną rzeczywistością interakcji molekularnych. Jego elegancka formuła rejestruje niezbędne zjawiska fizyczne, pozostając matematycznie tracable, co czyni go jednym z najważniejszych równań w historii termodynamiki.
Równanie van der Waals
Równanie Van der Waals jest zmodyfikowaną wersją idealnego prawa gazowego, który odpowiada za skończoną wielkość cząsteczek i atrakcyjne siły między nimi.
gdzie:
- P = ciśnienie (Pa)
- V = objętość (m ³)
- n = liczba moli
- R = stała gazu (8.314 J / (mol · K))
- T = temperatura (K)
- a = stała Van der Waals a (Pa · m RRRR / mol ²)
- b = stała Van der Waals b (m ³ / mol)
Jak obliczyć
Aby obliczyć za pomocą równania Van der Waals, należy wykonać następujące czynności:
-
1Wprowadź ciśnienie, objętość, ilość moli i temperaturę
-
2Wprowadź stałe Van der Waals a i b dla gazu
-
3Kalkulator sprawdzi, czy wartości spełniają równanie
Van der Waals Stałe
Stałe Van der Waals a i b są specyficzne dla każdego gazu i odpowiadają za:
- a: Siły przyciągania pomiędzy cząsteczkami
- b: Objętość zajęta przez cząsteczki
W odniesieniu do azotu (N ′):
- a = 0, 1378 Pa · m
- b = 0,03183 m ³ / mol
Przykłady praktyczne
Przykład 1Gaz azotowy
Obliczyć ciśnienie 1 mol azotu przy 273.15K w pojemniku 0,0224 m ³ przy użyciu równania Van der Waals.
Podane wartości:
- n = 1 mol
- V = 0.0224 m³
- T = 273.15 K
- a = 0,1408 Pa · m ↔ / mol ²
- b = 3,913 × 10
- R = 8, 314 J / (mol · K)
Uwaga: Objętość (0.0224 m ³) > n × b (3.913 × 10 s ³ u), więc ten przykład spełnia ograniczenie głośności.
Używając równania Van der Waals:
P = (nRT / (V- nb)) - (a (n / V) ²)
P = (1 × 8.314 × 273.15/(0.0224-1×3.913×10⁻⁵)) - (0.1408(1/0.0224)²)
P -------------------------------------------------- 101325 Pa (1 atm)
Przykład 2Ditlenek węgla
Obliczyć temperaturę dla 2 moli dwutlenku węgla na 150000 Tata w pojemniku 0,05 m ³.
Podane wartości:
- P = 150000 Pa
- V = 0.05 m³
- n = 2 mol
- a = 0, 364 Pa · m ↔ / mol ²
- b = 4,29 × 10
- R = 8, 314 J / (mol · K)
Uwaga: Objętość (0,05 m ³) > n × b (2 × 4,29 × 10 RRRR = 8,58 × 10 RRRR), więc ten przykład spełnia ograniczenie głośności.
Korzystanie z równania Van der Waals przestawione dla temperatury:
T = ((P + a (n / V) ²) (V - nb)) / (nR)
T = ((150000 + 0.364(2/0.05)²)(0.05 - 2×4.29×10⁻⁵))/(2×8.314)
T ≈ 450.2 K
Przykład 3Gaz tlenowy
Oblicz objętość 0,5 mola tlenu przy 100000 Pa i 300 K. g.
Podane wartości:
- P = 100000 Pa
- n = 0, 5 mol
- T = 300 K
- a = 0, 1382 Pa · m
- b = 3,183 × 10
- R = 8, 314 J / (mol · K)
Uwaga: Aby spełnić ograniczenie objętości, musimy znaleźć V takie, że V > n × b = 0,5 × 3,183 × 10 RRRR = 1,59 × 10 RRRR.
Użycie równania Van der Waals do rozwiązania dla objętości (iteracyjnie).
Obliczona objętość wynosi około 0,0125 m ³, co stanowi > n × b.
Przykład 4Gaz wodorowy
Obliczyć liczbę moli wodoru przy 120000 Pa, 350 K w objętości 0,01 m ³.
Podane wartości:
- P = 120000 Pa
- V = 0.01 m³
- T = 350 K
- a = 0,0247 Pa · m ↔ / mol ²
- b = 2,661 × 10
- R = 8, 314 J / (mol · K)
Uwaga: Aby spełnić ograniczenie objętości, musimy znaleźć n takie, że n< V/b = 0.01/2.661×10⁻⁵ = 375.8 mol.
Używanie równania Van der Waals do rozwiązywania moli (iteracyjnie).
Obliczona liczba moli wynosi około 0,42 mol, co odpowiada n< V/b.