Kalkulator sekwencji
Obliczyć sekwencje arytmetyczne i geometryczne.
Wprowadź wartości
Spis treści
Kompleksowy przewodnik po sekwencji
Zrozumienie sekwencji w matematyce
Sekwencja w matematyce jest uporządkowaną listą liczb, które podążają za określonym wzorem. Każda liczba w sekwencji jest nazywana terminem, a całkowita liczba terminów jest długością sekwencji, która może być albo skończona albo nieskończona.
Kluczowe właściwości sekwencji:
- Kolejność elementów jest ważna
- Terminy mogą pojawić się więcej niż raz
- Każdy wyraz podąża za wzorem ustalonym przez sekwencję
- Sekwencje mogą być reprezentowane przez jednoznaczne formuły lub relacje powtarzania
Rodzaje sekwencji liczb
Sekwencje arytmetyczne
Każdy wyraz różni się od poprzedniego wartością stałą (różnica wspólna).
an = a1 + (n-1)d
Sekwencje geometryczne
Każdy wyraz jest mnożony przez stałą wartość (wspólny stosunek).
an = a1 × rn-1
Sekwencje Fibonacciego
Każdy termin jest sumą dwóch poprzednich terminów.
an = an-1 + an-2
Sekwencje arytmetyczne w głębokości
Sekwencja arytmetyczna ma stałą różnicę pomiędzy kolejnymi terminami. Różnica ta może być dodatnia lub ujemna, określając, czy sekwencja zwiększa lub zmniejsza.
Praca z sekwencjami arytmetycznymi:
Termin ogólny: an = a1 + (n-1)d
Suma pierwszych terminów n: Sn = n/2 × (a1 + an)
Przykład:Dla sekwencji 1, 3, 5, 7, 9, 11... (d = 2)
Aby znaleźć 5 termin: a5 = 1 + (5-1) × 2 = 1 + 8 = 9
Suma pierwszych 5 terminów: S5 = 5/2 × (1 + 9) = 25
Sekwencje geometryczne w głębokości
W sekwencjach geometrycznych, każdy wyraz znajduje się przez pomnożenie poprzedniego wyrażenia przez stałą liczbę niezerową zwaną współczynnikiem wspólnym (r).
Praca z sekcjami geometrycznymi:
Termin ogólny: an = a1 × rn-1
Suma pierwszych terminów n: Sn = a1 × (1 - rn)/( / (1-r) dla rmbH 1
Przykład:Dla sekwencji 1, 2, 4, 8, 16, 32... (r = 2)
Aby znaleźć 8. termin: a8 = 1 × 27 = 128
Suma pierwszych 3 terminów: S3 = 1 × (1 - 23)/(1 - 2) = 7
Zastosowanie sekwencji
Sekwencje pojawiają się w wielu praktycznych zastosowań w różnych dyscyplinach:
W nauce i przyrodzie
- Modele wzrostu populacji
- Wzory wzrostu biologicznego
- Wytwarzanie fraktalu
- Wzory rozgałęzieniowe w roślinach
- Spirale w łupinach i kwiatach (Fibonacci)
W ekonomii i finansach
- Obliczenia odsetek złożonych
- Płatności hipoteczne i pożyczki
- Schematy amortyzacji
- Prognozy dotyczące inflacji
- Analiza rynku finansowego
Zaawansowane koncepcje sekwencji
Konwergencja i rozbieżność:
Sekwencja jestKonwergentjeżeli warunki zbliżają się do określonego limitu w miarę zwiększania n.
Sekwencja jestrozbieżnośćjeśli nie zbliża się do skończonego limitu.
Na przykład sekwencja 1, 1 / 2, 1 / 4, 1 / 8,... zbiega się do 0.
Podczas gdy sekwencja 1, 2, 3, 4,... zmienia się w nieskończoność.
Seria matematyczna:
Seria jest sumą wszystkich terminów w kolejności:
S = a1 + a2 + a3 + ... + an
Seria może być skończona lub nieskończona, a seria nieskończona może być zbieżna lub rozbieżna.
Koncepcja sekwencji
Sekwencja to uporządkowana lista liczb, które podążają za określonym wzorem. Istnieją dwa główne rodzaje sekwencji:
- Sekwencja arytmetyczna:Sekwencja, w której każdy wyraz po pierwszym jest uzyskiwany przez dodanie stałej wartości (wspólnej różnicy) do poprzedniego wyrażenia.
- Sekwencja geometryczna:Sekwencja, w której każdy wyraz po pierwszym jest uzyskiwany przez pomnożenie poprzedniego wyrażenia przez stałą wartość (wspólny stosunek).
Geometria: aprobacja = a
Metody obliczania
Oto kroki do obliczenia sekwencji:
-
1Identyfikacja pierwszego terminu (a) i wspólnej różnicy / stosunku (d / r)
-
2Określić liczbę terminów (n) do obliczenia
-
3Stosować odpowiedni wzór do obliczenia każdego terminu
Na przykład, do obliczenia sekwencji arytmetycznej z pierwszym wyrażeniem 1 i różnica wspólna 2:
a₂ = 1 + (2-1)2 = 3
a₃ = 1 + (3-1)2 = 5
a₄ = 1 + (4-1)2 = 7
a₅ = 1 + (5-1)2 = 9
Sekwencja - przykłady praktyczne
Przykład 1Konto oszczędnościowe
Obliczanie salda rachunku oszczędnościowego ze stałymi depozytami.
Saldo początkowe: 100 dolarów
Depozyt miesięczny: $50
Sekwencja: 100, 150, 200, 250, 300
Przykład 2Wzrost liczby ludności
Obliczanie wzrostu populacji przy stałej szybkości wzrostu.
Początkowa populacja: 1000
Wskaźnik wzrostu: 1.1
Sekwencja: 1000, 1100, 1210, 1331, 1464
Przykład 3Zmiana temperatury
Obliczanie zmian temperatury w czasie.
Temperatura początkowa: 20 ° C
Zmiana na godzinę: -2 ° C
Sekwencja: 20, 18, 16, 14, 12