Zスコア計算機
通常の分布に対する値のzスコアを計算します。
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Zスコアの包括的なガイド
定義との重要性
Zスコア(標準スコアとも呼ばれる)は、データポイントの標準的な偏差の数を表し、その分布の手段から離れている。 このシンプルで強力なコンセプトは、統計学者、研究者、アナリストが異なるソースからデータを標準化し、有意義で解釈可能な比較を可能にします。
Zスコアは、数多くの統計分析と解釈の基礎として機能します。 彼らの重要性は、いくつかの重要な利点から成ります:
- 標準化:Z軸は、任意の通常の分布から値を標準スケールに変換し、異なるデータセット間の直接比較を可能にします。
- アウターの検出:異常な値を識別するための明確な数値のしきい値を提供します。
- 確率マッピング:Zコアは、標準正規分布における確率値に直接接続します。
- 統計的推論:多くの仮説テストと自信の間隔の基礎を形成します。
標準的な正常な配分
標準正規分布は、平均(μ)が0と標準偏差(σ)が等しい通常の分布の特別なケースです 1。 Z-ディストリビューションと呼ばれるこのディストリビューションは、ゼロに集中した対称ベル型の曲線を形成します。
Zスコアの範囲の標準的な正常な配分
標準的な正常な配分に複数の重要な特性があります:
- それはゼロの周りの完全に対称的です
- 約68% 値が±1標準偏差内で下がる
- 約95% 値は±2標準偏差で落ちる
- 約99.7% 値が±3標準偏差内で下がる
Z-Scoresを用いたアウター検出
Zスコアの最も一般的なアプリケーションの一つは、データセットのアウトイヤーを識別することです。 アウトリエは、データポイントの残りの部分から著しく逸脱する値です。
外部の検出のための共通のZスコアのしきい値:
- |Z| > 2:平均から2以上の標準偏差値(カバー〜5)% データ)
- |Z| > 3:平均から3以上の標準偏差値(カバー〜0.3)% データ)
- |Z| > 4:極端なアウター (〜0.006% 通常の分布のデータポイント)
Zスコアを使用してアウターを識別するには:
- データセットの平均と標準の偏差を計算する
- 各データポイントを Z = (x - μ) / σ で Z スコアに変換する
- 選択したしきい値を超えるZスコアでデータポイントを特定する
- あなたのデータと研究の質問の文脈でこれらの潜在的なアウターを見直します
以前の存在がエラーを常に示さないことを覚えておいてください。特別な調査に値するデータの重要な現象を表す可能性があります。
異なる分布間で値を比較する
Zスコアの強力なアプリケーションは、異なる分布や異なるスケールを使用するデータセットからの値間の有効な比較を容易にする能力です。
| 評価評価 | 未加工スコア | メリット | ステッド・デベロッパー | Zスコア |
|---|---|---|---|---|
| 数学テスト | 85 | 75 | 5 | +2.0 |
| 読書テスト | 42 | 32 | 5 | +2.0 |
上記の例では、読書テストの数学テストと42で85をスコアした学生がいます。 生のスコアは非常に異なっていますが、両方とも同じ Z スコア +2.0 に変換します。つまり、学生は他のテスト テーカーと比較して同じテストで均等に行われました。
この標準化により、公平な比較が可能になります。
- 異なる評価スケール(例、異なるポイント合計のテスト)
- 異なるメトリック(例えば、高さを比較し、Zスコアを重くする)
- 異なる人口分布(例、異なる年のテストスコア)
- 異なる業界やコンテキスト(例えば、セクター間での金融パフォーマンスを比較)
Zスコアの適用
Zコアは、数多くの分野にわたって実用的なアプリケーションを見つける:
教育:
- 異なる被験者間でのテストスコアの標準化
- カーブドグラデーションシステムの作成
- 追加のサポートや充実が必要な学生の識別
金融:
- 値-at-risk (VaR) メトリックの計算
- 不正取引の検知
- ベンチマークによる投資パフォーマンスの分析
ヘルスケア:
- 子供のための成長チャートの評価(身長と体重Zスコア)
- 参照範囲に対する実験室の値を監視する
- 異なる条件で治療効果を比較する
市場調査:
- 顧客満足度スコアのベンチマーク
- 珍しい好みで市場セグメントを特定する
- 異なる文化の調査応答の標準化
確率解析のためのZコア
Zスコアの最も強力なアプリケーションの一つは、確率解析での使用です。 データをZスコアに変換すると、標準の正規分布のプロパティを活用して、確率を判断できます。
Z-scores を使うと、値を観察する確率が見つかります。
- 特定のZスコアよりも大きい
- 特定のZスコアより少し
- 2つのZコア間
たとえば、Zコアの1.96の場合:
- 平均上の1.96標準の偏差よりも低い値の確率は約97.5です%
- 平均上の1.96以上の標準偏差である値の確率は約2.5である%
この機能は、自信の間隔、仮説テスト、リスクアセスメントなどの重要な統計プロセスを可能にし、結果の可能性を理解することが重要であるフィールドでZスコアを欠かせません。
Z-Scores:制限と特別の考慮事項
前提と限界
Zスコアは強力な統計ツールですが、それらは考慮すべきいくつかの重要な制限と仮定を持っています。
ノーマリティの前提
通常の分散データに適用すると、Zスコアは最も意味があります。 高度にスキュードまたはマルチモーダルディストリビューションでは、Zコアは、与えられた値を観察する真の確率を正確に表すことはできません。
アウターへの感度
Zスコアを計算するために使用される平均および標準的な偏差は、outliersに敏感です。 極端な値は、すべての結果のZスコアに影響を与えるこれらのパラメータを歪めることができます。
サンプル サイズ 考察
より大きいサンプルから計算されるとき Z のスコアはより信頼できるです。 小さいサンプル サイズは平均および標準的な偏差の不安定な推定を作り出すかもしれません。
人口対サンプル
Zスコアの式は、全人口を横断するサンプルで動作するときに若干異なります。 サンプルのために、tスコアは特に小さいサンプル サイズとより適切かもしれません。
変更されたZスコア
これらの制限事項に対処するため、統計学者は、より強固なZコアメソッドを改良しました。 一般的なアプローチは、意味と標準偏差ではなく、メディアとメディアの絶対偏差(MAD)を使用します。
MADがメディアンの絶対偏差である場合。
このアプローチは、極端な値の影響が少なく、非正規分布や、outliers によるデータセットの方が優れています。
Zスコア対その他の標準化 メソッド
Zスコアは、データの標準化にいくつかのアプローチの1つです。
| メソッド | フォーミュラ | 最高の使用されたとき |
|---|---|---|
| Zスコア | (x - μ) / σ |
Data is approximately normal; comparing values across different scales |
| Min-Max Scaling | (x - min) / (max - min) |
Need values in a specific range (typically 0-1) |
| Decimal Scaling | x / 10^n |
Want to preserve the general distribution shape while reducing magnitude |
| Robust Scaling | (x - median) / IQR |
データには、通常は配布されていない |
実践的検討
Zスコアの使用のためのベストプラクティス:
- Zスコアを適用する前に、データが通常配布されているかどうかを常にチェック
- Zスコアを計算する前に、スキュードデータの変換(ログ、平方根など)を考慮する
- 小さいサンプルのために(n)< 30), consider using t-scores instead of Z-scores
- データを格納する際に、堅牢な方法を使用する
- Zスコアは、絶対的なパフォーマンスではなく、相対的な位置を表すことを忘れないでください
コンテンツ
Zスコアは、統計の最もエレガントで実用的なツールの1つです。標準化された方法でデータをコンテキストで理解できます。 統計的意義の抽象的な概念をコンクリート、解釈可能な値に変換し、その分布に相対的に値が立つかについて重要な質問に答えます。
学生分析試験のスコア、金融アナリスト比較投資、患者指標を評価するヘルスケアプロバイダー、または研究者の試験を実施しているかどうかにかかわらず、Zスコアのスコアをマスターすると、有意義な比較とあなたのデータから信頼性の高い結論を描画するための強力なフレームワークを提供します。
Zコアフォーミュラ
zスコア(または標準スコア)は、値が通常の分布の平均からある標準偏差の数を表します。
所在地:
- z は z スコア
- x は値です
- μ は平均です
- σは標準偏差です
Zスコアの計算方法
zスコアを計算するには、次の手順に従ってください。
-
1zスコアに変換する値(x)を特定する
-
2分布の平均(μ)を決定する
-
3分布の標準的な偏差(σ)を見つける
-
4z-score の式を適用する: z = (x - μ) / σ
Zスコアの解釈
z-scoresがあなたに語るものを理解する:
-
1肯定的なZスコア:
値が意味上にあることを示します。
-
2負のZスコア:
値が下にあることを示します。
-
3広さ:
絶対値が大きいほど、さらに値が意味からあります。
実用的な例
例1テストスコア
学生は、75の平均と5の標準的な偏差でテストで85をスコアしました。
x = 85, μ = 75, σ = 5
z = (85 - 75) / 5 = 2.0
このスコアは、平均よりも2つの標準偏差です。
例2高さ
身長175cmの高さと標準偏差10cmの人口は、身長170cmの高さです。
x = 170, μ = 175, σ = 10
z = (170 - 175) / 10 = -0.5
この高さは0.5以下の標準偏差です。
例3IQスコア
人には、平均IQ 100 と 15 の標準的な偏差を持つ人口で 130 のIQ があります。
x = 130, μ = 100, σ = 15
z = (130 - 100) / 15 = 2.0
このIQスコアは、平均よりも2つの標準偏差です。