エラー関数計算機
任意の実数のエラー関数(erf)と補完的なエラー関数(erfc)を計算します。
エラー関数の計算
エラー機能の包括的なガイド
エラー関数 (erf) は、複数の懲戒を横断して、深い意味を持つ基本的な数学的特殊関数です。 確率論を研究する数学者によって19世紀に導入され、統計、物理、工学、応用数学の重要なツールになりました。
数学的定義とプロパティ
エラー関数は、次のように正式に定義されます。
この非elementaryインテグレーションは、平均0と分散1/2の正規分布のランダム変数が範囲[-x、x]で落ちる確率を表します。 関数にはいくつかの注目すべき特性があります。
- これは奇妙な関数です: erf(-x) = -erf(x)
- それは限界を持っています: erf(0) = 0 と erf(∞) = 1
- その誘導体は:(d/dx)erf(x) = (2/√π)e^(-x2)
- テイラーシリーズ展開: erf(x) = (2/√ππ) Σ(n=0)^∞(((-1)^·x^(2n+1))/((2n+1)·n!)
その他の機能との関係
エラー関数は、いくつかの重要な数学関数に密接に関連しています。
補完エラー機能
erfc(x) = 1 - erf(x)
正規販売CDF
Φ(x) = (1/2) (1 + erf (x/√2))
Q機能
Q(x) = (1/2)erfc (x/√2)
異常エラー機能
erfi(x) = -i·erf(x)
数値計算
エラー関数は、小数関数の面でクローズされたフォーム式を持たないが、いくつかの正確な数値の近似が存在します。
- Abramowitz と Stegun の近似: erf(x) 1 - (a1t + a2t2 + a3t3)e^(-x2) t = 1/(1+px)
- erfc(x) の連続した分岐拡張
- テイラーシリーズは、xの小さな値
- x の大きい価値のためのアスマルクトの拡大
科学技術の応用分野
エラー関数は複数のフィールドに表示されます。
確率 インフォメーション
通常に分散されたランダム変数および自信の間隔のための確率を計算するのに使用される。
統計データ
仮説テスト、不確実性定量化、および回帰解析の出現。
物理
拡散プロセス、熱力学および量子のメカニズムで使用される。
信号処理
デジタル通信、エラー検知、補正システムに重要
熱伝達
熱および拡散のequationsへの解決は頻繁に間違い機能を含んでいます。
金融数学
オプションの価格設定とリスクアセスメントのためのBlack-Scholesモデルで使用される。
歴史的発展
The error function was first introduced by J.W.L. Glaisher in 1871, though the study of related integrals dates back to earlier mathematicians. The name "error function" comes from its connection to the theory of measurement errors in astronomy and geodesy, where normal distributions were first applied to model observational errors.
高度なトピック
複雑な分析
複雑な平面にエラー関数を拡張し、複雑なエラー関数を作成できます。 関数は全体(どこでも整形)で、無限以外は単数性がありません。
インテグレーション
補完的なエラー機能の統合を繰り返すと、反復されたインテグレータ ierfc(x)、i2erfc(x)、等が生成され、時間依存の拡散の問題でアプリケーションを持つ。
Faddeeva機能
複雑なエラー関数は、通常、Faddeeva関数: w(z) = e^(-z2)erfc(-iz)、計算物理と分光法で重要な規模の形式で議論されます。
ご存知ですか?
Gaussian の integral の.(-∞)^∞ e^(-x2) dx = √π はエラー関数と密接に関係しています。 エラー関数は、小学校のクローズドフォームを持たないが、この明確な統合体は、偏波座標への変化によって実証することができるエレガントなクローズドフォームソリューションを持っています。
エラー機能とは?
エラー関数(erf)は、確率、統計、および部分的な差動式で表示される特別な機能です。 Gaussian関数の積分として定義され、通常の分布に関連しています。
- Gaussian関数の統合
- 通常の分布に関連して
- 確率論で使用される
- 統計情報
プロパティ
シンメトリー
erf(-x) = -erf(x)
制限事項
erf(0) = 0、erf(∞) = 1
コンプライアンス
erfc(x) = 1 - erf(x)
レンジ
-1 ≤ erf (x) ≤ 1
エラー機能式
エラー関数は、次のインテグレーションで定義されます。
所在地:
- x は入力値です
- π は pi (およそ 3.14159)
- eはユーラーの番号です(約2.71828)
アプリケーション
確率正常な配分
通常の分布の確率を計算し、自信の間隔を見つけるために使用されます。
物理熱伝達
熱伝導の問題を解決し、拡散のequationsで使用される。
エンジニアリング信号処理
デジタル信号処理および通信理論で使用される。