त्रुटि फंक्शन कैलकुलेटर
किसी भी वास्तविक संख्या के लिए त्रुटि फ़ंक्शन (erf) और पूरक त्रुटि फ़ंक्शन (erfc) की गणना करें।
त्रुटि समारोह की गणना
सामग्री तालिका
त्रुटि कार्यों के लिए व्यापक गाइड
त्रुटि समारोह (erf) एकाधिक विषयों में गहरा प्रभाव के साथ एक मूलभूत गणितीय विशेष कार्य है। 19 वीं सदी में गणितज्ञों द्वारा संभावित सिद्धांत का अध्ययन करके पेश किया गया, इसके बाद से सांख्यिकी, भौतिकी, इंजीनियरिंग और लागू गणित में एक आवश्यक उपकरण बन गया है।
गणितीय परिभाषा और गुण
त्रुटि समारोह को औपचारिक रूप से परिभाषित किया गया है:
यह गैर-elementary अभिन्न संभावना का प्रतिनिधित्व करता है कि औसत 0 और भिन्नता 1/2 के सामान्य वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर रेंज [x, x] में गिर जाता है। समारोह में कई उल्लेखनीय गुण हैं:
- यह एक विषम समारोह है: erf(x) = -erf(x)
- इसमें सीमाएं हैं: erf(0) = 0 और erf(∞) = 1
- इसका व्युत्पन्न है: (d/dx)erf(x) = (2/ostπ)e^(-x2)
- इसका टेलर श्रृंखला विस्तार है: erf(x) = (2/₹π) δ(n=0)^^^(-1)^n·x^(2n+1))/((2n+1)·n!)
अन्य कार्यों के साथ संबंध
त्रुटि समारोह कई महत्वपूर्ण गणितीय कार्यों से निकटता से संबंधित है:
पूरक त्रुटि समारोह
erfc(x) = 1 - erf(x)
सामान्य वितरण CDF
Φ(x) = (1/2)(1 + erf(x/gen2))
Q-function
Q(x) = (1/2)erfc(x)/
काल्पनिक त्रुटि समारोह
erfi(x) = -i·erf(ix)
न्यूमेरिकल कम्प्यूटेशन
जबकि त्रुटि समारोह में प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में एक बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं होती है, कई सटीक संख्यात्मक अनुमान मौजूद हैं:
- Abramowitz और Stegun approximation: erf(x) ≈ 1 - (a1t + a2t2 + a3t3)e^(-x2) जहां t = 1/(1+px)
- erfc(x) के लिए निरंतर भिन्न विस्तार
- x के छोटे मूल्यों के लिए टेलर श्रृंखला
- x के बड़े मूल्यों के लिए विषम विस्तार
विज्ञान और इंजीनियरिंग में अनुप्रयोग
त्रुटि समारोह कई क्षेत्रों में दिखाई देता है:
संभावना सिद्धांत
सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर और आत्मविश्वास अंतराल के लिए संभावना की गणना में प्रयुक्त होता है।
सांख्यिकी
परिकल्पना परीक्षण, अनिश्चितता परिमाण और प्रतिगमन विश्लेषण में प्रकट होता है।
भौतिकी
diffusion प्रक्रियाओं, thermodynamics, और क्वांटम यांत्रिकी में इस्तेमाल किया।
सिग्नल प्रोसेसिंग
डिजिटल संचार, त्रुटि पहचान और सुधार प्रणाली में महत्वपूर्ण है।
हीट ट्रांसफर
गर्मी और प्रसार समीकरणों के समाधान में अक्सर त्रुटि कार्य शामिल होता है।
वित्तीय गणित
विकल्प मूल्य निर्धारण और जोखिम मूल्यांकन के लिए ब्लैक-Scholes मॉडल में उपयोग किया जाता है।
ऐतिहासिक विकास
The error function was first introduced by J.W.L. Glaisher in 1871, though the study of related integrals dates back to earlier mathematicians. The name "error function" comes from its connection to the theory of measurement errors in astronomy and geodesy, where normal distributions were first applied to model observational errors.
उन्नत विषय
जटिल विश्लेषण
त्रुटि समारोह जटिल विमान के लिए बढ़ाया जा सकता है, जटिल त्रुटि समारोह का निर्माण। समारोह पूरे (हॉलोमोर्फिक हर जगह) है, बिना किसी विलक्षणता के।
Iterated Integrals
पूरक त्रुटि समारोह के दोहराए गए एकीकरण iterated अभिन्न ierfc(x), i2erfc(x), आदि, जो समय पर निर्भर प्रसार समस्याओं में आवेदन किया है का उत्पादन।
Faddeeva समारोह
जटिल त्रुटि समारोह आम तौर पर अपने पैमाने पर फार्म में फेडेवा समारोह के रूप में चर्चा की जाती है: w(z) = e^(-z2)erfc(-iz), कम्प्यूटेशनल भौतिकी और स्पेक्ट्रोस्कोपी में महत्वपूर्ण है।
क्या आप जानते हैं?
Gaussian अभिन्न term(-∞) ^^(-x2) dx = √π बारीकी से त्रुटि समारोह से संबंधित है। जबकि त्रुटि समारोह में एक प्राथमिक बंद फॉर्म नहीं होता है, इस निश्चित अभिन्न में एक सुरुचिपूर्ण बंद फॉर्म समाधान होता है जिसे ध्रुवीय निर्देशांक में चालाक बदलाव के माध्यम से साबित किया जा सकता है।
त्रुटि फंक्शन क्या है?
त्रुटि समारोह (erf) एक विशेष कार्य है जो संभावना, आंकड़े और आंशिक अंतर समीकरणों में दिखाई देता है। यह Gaussian समारोह के अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है और सामान्य वितरण से संबंधित है।
- गौसियन समारोह का अभिन्न अंग
- सामान्य वितरण से संबंधित
- संभावना सिद्धांत में प्रयुक्त
- सांख्यिकी में महत्वपूर्ण
गुण
समरूपता
erf(x) = -erf(x)
सीमा
erf(0) = 0, erf(∞) = 1
पूरक
erfc(x) = 1 - erf(x)
रेंज
-1 ≤ erf (x) ≤ 1
त्रुटि समारोह सूत्र
त्रुटि समारोह निम्नलिखित अभिन्न द्वारा परिभाषित किया गया है:
कहां:
- x इनपुट मान है
- π pi है (लगभग 3.14159)
- ई यूलर की संख्या (लगभग 2.71828) है
अनुप्रयोग
संभावनासामान्य वितरण
सामान्य वितरण में संभावनाओं की गणना करने और आत्मविश्वास अंतराल खोजने के लिए उपयोग किया जाता है।
भौतिकीहीट ट्रांसफर
गर्मी चालन समस्याओं और प्रसार समीकरणों को हल करने में प्रयुक्त होता है।
इंजीनियरिंगसिग्नल प्रोसेसिंग
डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग और संचार सिद्धांत में प्रयुक्त होता है।