द्विपदीय वितरण कैलक्यूलेटर
संभावना पी के साथ n स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में k सफलताओं की संभावना की गणना करें।
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Binomial वितरण के लिए व्यापक गाइड
Binomial वितरण क्या है?
द्विपदीय वितरण सांख्यिकी में सबसे मौलिक और व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली संभावना वितरण में से एक है। यह स्वतंत्र प्रयोगों की निश्चित संख्या में सफलताओं की संख्या को मॉडल करता है, प्रत्येक में सफलता की समान संभावना होती है।
प्रमुख लक्षण और शर्तें
एक यादृच्छिक प्रयोग के लिए एक द्विपदीय वितरण का पालन करें, यह इन मानदंडों को पूरा करना चाहिए:
- परीक्षण की निश्चित संख्या:प्रयोग में परीक्षणों की एक निश्चित संख्या (n) होती है।
- स्वतंत्रता:प्रत्येक परीक्षण दूसरों से स्वतंत्र है।
- दो परिणाम:Each trial has exactly two possible outcomes ("success" or "failure").
- लगातार संभावना:सफलता की संभावना (p) प्रत्येक परीक्षण के लिए समान रहती है।
Binomial वितरण अनुप्रयोग
द्विपदीय वितरण कई क्षेत्रों और परिदृश्यों में लागू होता है:
-
गुणवत्ता नियंत्रण:परीक्षण क्या उत्पाद विनिर्देशों को पूरा करते हैं।
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चिकित्सा:चिकित्सा उपचार या प्रक्रियाओं की सफलता दर।
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वित्त:शेयर मूल्य आंदोलनों या निवेश परिणामों की संभावना।
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खेल:खेलों की एक श्रृंखला में जीत / हार का विश्लेषण करना।
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मतदान:मतदाताओं के अनुपात का आकलन करना जो उम्मीदवार के पक्ष में हैं।
सांख्यिकीय गुण
अर्थ (Expected value)
μ = n × p
जहां n परीक्षण की संख्या है और p प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना है।
विविधता
σ² = n × p × (1-p)
यह वितरण के फैलाव या प्रसार को मापता है।
मानक विचलन
σ = √(n × p × (1-p))
विविधता का वर्ग मूल मानक विचलन देता है।
Skewness
(1-p)
जब p=0.5, सकारात्मक रूप से skewed जब p<0.5, and negatively skewed when p>0.5.
द्विपदीय संभावना के प्रकार
द्विपदीय वितरण के साथ काम करते समय, आप कई प्रकार की संभावनाओं की गणना कर सकते हैं:
| संभावना प्रकार | अधिसूचना | विवरण |
|---|---|---|
| सटीक | P(X = k) | वास्तव में k सफलताओं की संभावना |
| संचयी (अधिकांश) | P(X ≤ k) | K या कम सफलताओं की संभावना |
| संचयी (कम से कम) | P(X ≥ k) | K या अधिक सफलताओं की संभावना |
| रेंज | P(a ≤ X ≤ b) | A and b successes (inlusive) |
अन्य वितरण सम्बन्ध
द्विपदीय वितरण सांख्यिकी में कई अन्य महत्वपूर्ण वितरणों को जोड़ता है:
- सामान्य अनुमान:बड़े n के लिए, द्विपदीय वितरण को औसत μ=np और variance σ2=np(1-p) के साथ एक सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।
- बर्नौली वितरण:n=1 के साथ एक द्विपद वितरण एक बर्नौली वितरण है।
- Poisson Approximation:जब n बड़ा होता है और p छोटा होता है, तो द्विपदीय वितरण को पैरामीटर λ=np के साथ एक Poisson वितरण द्वारा अनुमोदित किया जा सकता है।
जब Binomial कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए
इस द्विपदीय वितरण कैलकुलेटर का उपयोग करें जब आपको शामिल स्थितियों के लिए संभावनाओं की गणना करने की आवश्यकता होती है:
- परीक्षणों की एक निश्चित संख्या
- स्वतंत्र घटनाओं (एक परीक्षण का परिणाम दूसरों को प्रभावित नहीं करता है)
- सभी परीक्षणों में सफलता की लगातार संभावना
- प्रति परीक्षण केवल दो संभावित परिणाम (success/failure)
द्विपदीय वितरण सूत्र
द्विपदीय वितरण एक संभावना वितरण है जो स्वतंत्र परीक्षणों की निश्चित संख्या में सफलताओं की संख्या का वर्णन करता है, प्रत्येक में सफलता की संभावना होती है।
कहां:
- P(X = k) k सफलताओं की संभावना है
- C(n) संयोजनों की संख्या है
- पी सफलता की संभावना है
- n परीक्षण की संख्या है
- k सफलता की संख्या है
Binomial संभावना की गणना कैसे करें
द्विपदीय संभावना की गणना करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:
-
1परीक्षणों की संख्या निर्धारित करें (n)
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2सफलताओं की संख्या की पहचान (k)
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3सफलता की संभावना (पी) निर्दिष्ट करें
-
4द्विपदीय संभावना सूत्र लागू करें
Interpreting Binomial संभावना
यह समझना कि द्विपदीय संभावना आपको क्या बताती है:
-
1उच्च संभावना:
इंगित करता है कि आने वाली सफलताओं की संख्या होने की संभावना है।
-
2कम संभावना:
संकेत देता है कि आने वाली सफलताओं की संख्या होने की संभावना नहीं है।
-
3अपेक्षित मूल्य:
सफलता की उम्मीद संख्या n * p है।
व्यावहारिक उदाहरण
उदाहरण 1सिक्का टोस
5 सिक्के टोस में वास्तव में 3 सिर पाने की संभावना क्या है?
n = 5, k = 3, p = 0.5
संभावना = 0.3125
इसका मतलब यह है कि 31.25% वास्तव में 3 सिर होने की संभावना।
उदाहरण 2टेस्ट प्रश्न
10-question एकाधिक-choice परीक्षण (5 प्रति प्रश्न विकल्प) में वास्तव में 4 सही उत्तर प्राप्त करने की संभावना क्या है?
n = 10, k = 4, p = 0.2
संभावना = 0.0881
इसका मतलब यह है कि 8.81 है% वास्तव में 4 सही उत्तर प्राप्त करने की संभावना।
उदाहरण 3गुणवत्ता नियंत्रण
20 वस्तुओं के नमूने में वास्तव में 2 दोषपूर्ण वस्तुओं को खोजने की संभावना क्या है, अगर दोष दर 5 है%?
n = 20, k = 2, p = 0.05
संभावना = 0.1887
इसका मतलब 18.87 है% वास्तव में 2 दोषपूर्ण आइटम खोजने की संभावना।