समीकरण कैलकुलेटर
सिग्मा नोटेशन का उपयोग करके एक अनुक्रम के योग की गणना करें।
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संक्षेपण अधिसूचना को समझना
संक्षेपण नोटेशन का परिचय
संक्षेप में, ग्रीक अक्षर सिग्मा (Sigma) द्वारा प्रतिनिधित्व किया गया, एक शक्तिशाली गणितीय शॉर्टहैंड है जिसका उपयोग संख्याओं या शर्तों के अनुक्रम के अतिरिक्त को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। ध्यान सुरुचिपूर्ण ढंग से संघनित करता है कि अन्यथा लंबी अभिव्यक्ति होगी, जिससे जटिल गणनाओं को अधिक प्रबंधनीय और संक्षिप्त किया जा सकता है।
समीकरण नोटेशन के घटक
- सिग्मा प्रतीक (δ)- संक्षेपण के संचालन का प्रतिनिधित्व करता है
- सूचकांक चर (i)- वेरिएबल जो प्रत्येक टर्म के साथ बदलता है
- निम्न सीमा (m)- सूचकांक का प्रारंभिक मूल्य
- ऊपरी सीमा (n)- सूचकांक का अंतिम मूल्य
- समारोह या अभिव्यक्ति एफ (i)- सूत्र सूचकांक के प्रत्येक मान पर लागू होता है
समीकरण की प्रमुख गुण
इन गुणों को समझना गणना को सरल बनाने और संक्षेपण में हेरफेर करने में मदद करता है:
अचल संपत्ति
(i=m to n) c = c + c +... + c = c · (n-m+1)
जहां सी एक स्थिर है।
वितरित संपत्ति
(i=m to n) [f(i) + g(i)] = clf(i) + clg(i))
कार्यों की राशि उनके अलग योगों के बराबर होती है।
Scalar Multiplication
(i=m to n) c·f(i) = c·cl(i=m to n) f(i)
कॉन्स्टैंट्स को समीकरण से बाहर किया जा सकता है।
इंडेक्स शिफ्टिंग
(i=m to n) f(i) = Σ(j=m+k to n+k) f(j-k)
बदलाव किये गए सूचकांकों के साथ समान राशि।
सामान्य समीकरण सूत्र
ये मानक सूत्र विशिष्ट प्रकार के योगों की गणना करते समय समय समय बचाते हैं:
पहला n नैचुरल नंबर
(i=1 to n) i = 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2
स्क्वायर का योग
(i=1 to n) i2 = 12 + 22 + 32 +... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6
क्यूब्स का योग
(i=1 to n) i3 = 13 + 23 + 33 +... + n3 = [n(n+1)/2]2
विशेष शृंखला प्रकार
विभिन्न प्रकार के अनुक्रम विभिन्न समीकरण सूत्रों का नेतृत्व करते हैं:
अंकगणितीय शृंखला
पहली अवधि के साथ एक अंकगणित अनुक्रम के लिए एक और सामान्य अंतर डी:
(i=1 to n) [a + (i-1)d] = n/2 * [2a + (n-1)d] = n/2 * (पहली अवधि + अंतिम अवधि)
ज्यामितीय शृंखला
पहली अवधि के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम के लिए एक और आम अनुपात r:
(i=1 to n) ar^(i-1) = a(1-r^n)/(1-r) r ux1 के लिए
जब< 1, the sum of an infinite geometric series is:
(i=1 to ∞) ar^(i-1) = a/(1-r)
उन्नत समीकरण तकनीक
जब जटिल समीकरण के साथ काम किया जाता है, तो ये विधियां सहायक हो सकती हैं:
टेलीस्कोपिंग सीरीज
एक दूरबीन श्रृंखला एक है जहां मध्यवर्ती शर्तों का विस्तार करते समय रद्द कर दिया जाता है, केवल कुछ शर्तों को छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए:
(i=1 to n) [1/i - 1/(i+1)] = 1 - 1/(n+1)
डबल Summation
जब एकाधिक सूचकांकों के साथ काम करते हैं (जैसे मैटरिस में):
(i = 1 से m) Σ (j = 1 से n) a_ij
संक्षेपण के अनुप्रयोग
संक्षेपण में गणित और अन्य विषयों में व्यापक अनुप्रयोग हैं:
- सांख्यिकी- गणना का मतलब, भिन्नता और मानक विचलन
- कैलकुलस- Riemann अनुरूपता के लिए योग
- वित्त- मिश्रित ब्याज और मूल्य गणना
- भौतिकी- कम्प्यूटिंग कुल बलों, ऊर्जा, या अन्य भौतिक मात्रा
- कंप्यूटर विज्ञान- एल्गोरिथ्म विश्लेषण और कम्प्यूटेशनल जटिलता
समीकरण सूत्र
संक्षेपण (सिग्मा नोटेशन) शब्दों के अनुक्रम के योग का प्रतिनिधित्व करता है। यह ग्रीक अक्षर सिग्मा (Sigma) द्वारा दर्शाया गया है।
कैसे गणना करने के लिए Summation
संक्षेपण की गणना करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:
-
1'n' का उपयोग करके वेरिएबल के रूप में करें
-
2प्रारंभ मान निर्दिष्ट करें (कमतर सीमा)
-
3अंतिम मान निर्दिष्ट करें (ऊपर बाध्य)
-
4शुरू से अंत तक सभी शर्तों के योग की गणना
उदाहरण के लिए, 1 से 5 तक n2 का योग ढूंढना:
संक्षेपण - प्रैक्टिकल उदाहरण
उदाहरण 1प्राकृतिक संख्या
1 से 10 तक प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें।
(n=1 से 10) n = 1 + 2 + 3 +... + 10 = 55
उदाहरण 2स्क्वायर का योग
1 से 5 तक वर्गों की राशि की गणना करें।
(n=1 से 5) n2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
उदाहरण 3अंकगणित अनुक्रम
अंकगणित अनुक्रम 2n + 1 के योग की गणना 1 से 5 तक।
(n=1 से 5) (2n + 1) = (2 * 1 + 1) + (2 * 2) +... + (2 * 5 + 1) = 35