अनुक्रम कैलकुलेटर
अंकगणित और ज्यामितीय अनुक्रमों की गणना करें।
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व्यापक अनुक्रम गाइड
गणित में अनुक्रम को समझना
गणित में एक अनुक्रम संख्याओं की एक आदेशित सूची है जो एक विशिष्ट पैटर्न का पालन करते हैं। अनुक्रम में प्रत्येक संख्या को एक शब्द कहा जाता है, और शर्तों की कुल संख्या अनुक्रम की लंबाई है, जो या तो परिमित या अनंत हो सकता है।
अनुक्रम के प्रमुख गुण:
- तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण है
- नियम एक से अधिक बार दिखाई दे सकते हैं
- प्रत्येक शब्द अनुक्रम द्वारा स्थापित एक पैटर्न का अनुसरण करता है
- अनुक्रम को स्पष्ट सूत्रों या पुनरावृत्ति संबंधों द्वारा दर्शाया जा सकता है
संख्या अनुक्रम के प्रकार
अंकगणित अनुक्रम
प्रत्येक शब्द पिछले से एक स्थिर मूल्य (आम अंतर) से भिन्न होता है।
an = a1 + (n-1)d
ज्यामितीय अनुक्रम
प्रत्येक शब्द को एक स्थिर मूल्य (आम अनुपात) द्वारा गुणा किया जाता है।
an = a1 × rn-1
फिबोनैकी अनुक्रम
प्रत्येक शब्द दो पूर्ववर्ती शर्तों का योग है।
an = an-1 + an-2
अंकगणित अनुक्रम In-Depth
एक अंकगणित अनुक्रम लगातार शर्तों के बीच एक निरंतर अंतर है। यह अंतर सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है, यह निर्धारित करता है कि क्या अनुक्रम बढ़ता है या घटता है।
अंकगणित अनुक्रम के साथ काम करना:
सामान्य शब्दn = a1 + (n-1)d
प्रथम एन शर्तों का योग: एसn = n/2 × (a1 + an)
उदाहरण:क्रम 1, 3, 5, 7, 9, 11... (d = 2) के लिए
5 वीं अवधि खोजने के लिए: एक5 = 1 + (5-1) × 2 = 1 + 8 = 9
पहले 5 शब्दों का योग: एस5 = 5/2 × (1 + 9) = 25
ज्यामितीय अनुक्रम In-Depth
ज्यामितीय अनुक्रमों में, प्रत्येक शब्द को पिछली अवधि को एक निश्चित गैर-zero संख्या द्वारा सामान्य अनुपात (r) कहा जाता है।
ज्यामितीय अनुक्रम के साथ काम करना:
सामान्य शब्दn = a1 × rn-1
प्रथम एन शर्तों का योग: एसn = a1 × (1 - rn)/(1 - r) r ux 1
उदाहरण:क्रम 1, 2, 4, 8, 16, 32... (r = 2) के लिए
8 वीं अवधि खोजने के लिए: एक8 = 1 × 27 = 128
पहले 3 शर्तों का योग: एस3 = 1 × (1 - 23)/(1 - 2) = 7
अनुक्रम के अनुप्रयोग
अनुक्रम विभिन्न विषयों में कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं:
विज्ञान और प्रकृति में
- जनसंख्या वृद्धि मॉडल
- जैविक विकास पैटर्न
- फ्रैक्चरल पीढ़ी
- पौधों में ब्रांचिंग पैटर्न
- गोले और फूलों में सर्पिल
अर्थशास्त्र और वित्त में
- मिश्रित ब्याज गणना
- बंधक और ऋण भुगतान
- अवमूल्यन अनुसूची
- मुद्रास्फीति अनुमान
- वित्तीय बाजार विश्लेषण
उन्नत अनुक्रम अवधारणा
अभिसरण और विचलन:
अनुक्रम हैअभिसरणयदि इसकी शर्तें n बढ़ने के रूप में एक विशिष्ट सीमा तक पहुंचती हैं।
अनुक्रम हैविविधअगर यह एक परिमित सीमा तक नहीं पहुंचता है।
उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, 1/2, 1/4, 1/8,... 0 के लिए converges।
जबकि अनुक्रम 1, 2, 3, 4,... अनंतता के लिए भिन्न होता है।
गणितीय श्रृंखला:
एक श्रृंखला अनुक्रम में सभी शर्तों का योग है:
S = a1 + a2 + a3 + ... + an
श्रृंखला परिमित या अनंत हो सकती है, और अनंत श्रृंखला अभिसरण या विविध हो सकती है।
अनुक्रमणिका
एक अनुक्रम संख्या है कि एक विशिष्ट पैटर्न का पालन की एक आदेश सूची है। अनुक्रम के दो मुख्य प्रकार हैं:
- अंकगणित अनुक्रम:एक अनुक्रम जहां पहली बार के बाद प्रत्येक शब्द को पिछली अवधि में एक स्थिर मूल्य (आम अंतर) जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
- ज्यामितीय अनुक्रम:एक अनुक्रम जहां पहली बार के बाद प्रत्येक शब्द को एक स्थिर मूल्य (आम अनुपात) द्वारा पिछली अवधि को गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
ज्यामितीय: a = a1 × r^(n-1)
गणना विधि
यहाँ एक अनुक्रम की गणना करने के लिए कदम हैं:
-
1प्रथम अवधि (a1) और सामान्य अंतर/ratio (d/r) की पहचान करें
-
2गणना करने के लिए शर्तों की संख्या निर्धारित करना
-
3प्रत्येक शब्द की गणना करने के लिए उपयुक्त सूत्र का उपयोग करें
उदाहरण के लिए, प्रथम अवधि 1 और सामान्य अंतर 2: के साथ एक अंकगणित अनुक्रम की गणना करने के लिए
a₂ = 1 + (2-1)2 = 3
a₃ = 1 + (3-1)2 = 5
a₄ = 1 + (4-1)2 = 7
a₅ = 1 + (5-1)2 = 9
अनुक्रम - प्रैक्टिकल उदाहरण
उदाहरण 1बचत खाता
नियमित जमा के साथ बचत खाते के शेष की गणना करना।
प्रारंभिक संतुलन: $100
मासिक जमा: $50
अनुक्रम: 100, 150, 200, 250, 300
उदाहरण 2जनसंख्या वृद्धि
एक सतत विकास दर के साथ जनसंख्या वृद्धि की गणना।
प्रारंभिक जनसंख्या: 1000
वृद्धि दर: 1.1
अनुक्रम: 1000, 1100, 1210, 1331, 1464
उदाहरण 3तापमान परिवर्तन
समय के साथ तापमान परिवर्तन की गणना।
प्रारंभिक तापमान: 20 °C
प्रति घंटे परिवर्तन: -2 °C
अनुक्रम: 20, 18, 16, 14, 12