एन्थ रूट कैलकुलेटर

एन्थ रूट क्या हैं?

गणित में, एकnth रूटएक संख्या x का मूल्य r है, जिसे n की शक्ति तक बढ़ाया जाता है, x के बराबर है: आरⁿ= x. सकारात्मक पूर्णांक n कहा जाता हैसूचकांकयाडिग्रीजड़ की, और x कहा जाता हैरेडिकैंड.

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

The concept of roots has been studied for thousands of years. Ancient Babylonians calculated square roots as early as 1800 BCE. The √ symbol (radical sign) was introduced in 1525 by German mathematician Christoff Rudolff in his book "Coss".

रूट के प्रकार

• स्क्वायर रूट (n=2):√x या x के रूप में लिखित^1/2, यह सबसे आम जड़ है।
• क्यूब रूट (n=3):To make a lex or x^1/3.
• चौथा रूट (n=4):To make a lex or x^1/4.
• उच्च ऑर्डर रूट:किसी भी जड़ जहां n > 4, के रूप में लिखाⁿ√ x^1/n.

एन्थ रूट्स के गुण

एन्थ रूट्स की अस्तित्व

• n के मानों के लिए:सकारात्मक संख्या में वास्तव में एक सकारात्मक वास्तविक nth जड़ और एक नकारात्मक वास्तविक nth जड़ है।
• n के विषम मूल्यों के लिए:प्रत्येक वास्तविक संख्या में वास्तव में एक वास्तविक nth जड़ है।
• परिसर संख्या:प्रत्येक गैर-zero जटिल संख्या में वास्तव में n अलग जटिल nth जड़ें हैं।

उन्नत अवधारणा

प्रमुख रूट

Theप्रिंसिपल nth रूटएक सकारात्मक वास्तविक संख्या की अपनी अनूठी सकारात्मक वास्तविक nth जड़ है। जटिल संख्याओं के लिए, प्रिंसिपल रूट को आम तौर पर छोटी सकारात्मक तर्क के साथ जड़ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एकता की जड़

1 की nth जड़ों को बुलाया जाता हैएकता की जड़. एकता की वास्तव में nth जड़ें हैं, समान रूप से जटिल विमान में यूनिट सर्कल के आसपास स्थित हैं।

तर्कसंगतता और irrationality

यदि कोई संख्या एक सही nth शक्ति नहीं है, तो इसकी nth जड़ irrational है। उदाहरण के लिए, √2 irrational है क्योंकि 2 एक सही वर्ग नहीं है।

रियल वर्ल्ड एप्लीकेशन

• भौतिकी:तरंगों, दोलनों और क्वांटम यांत्रिकी के लिए सूत्रों में प्रयुक्त
• इंजीनियरिंग:भौतिक शक्ति, विद्युत गुण और यांत्रिक डिजाइन की गणना
• वित्त:मिश्रित ब्याज गणना और वित्तीय मॉडलिंग
• कंप्यूटर विज्ञान:एल्गोरिथ्म, क्रिप्टोग्राफ़ी और कंप्यूटर ग्राफिक्स
• सांख्यिकी:डेटा विश्लेषण और संभावना वितरण

गणना विधि

कई तरीके nth जड़ों की गणना के लिए मौजूद हैं:

• न्यूटन विधि:एक क्षणिक तकनीक जो अधिकांश जड़ों के लिए जल्दी से अभिसरण करती है
• लॉरेथमिक विधि:पहचान x का उपयोग करना^1/n = e^(Ln(x)/n)
• डिजिट-by-Digit Algorithm:लंबे विभाजन के समान, किसी भी जड़ के लिए काम करता है
• द्विपदीय विस्तार:जब उच्च परिशुद्धता की आवश्यकता नहीं होती है तो अनुमानों के लिए

एक संख्या की nth जड़ एक मान है कि जब खुद से n बार गुणा, मूल संख्या देता है। आम प्रकार की जड़ों में शामिल हैं:

• स्क्वायर रूट (n=2):वह मान जो स्वयं गुणा करते हैं, मूल संख्या देता है।
• क्यूब रूट (n=3):मूल्य, जब खुद से तीन बार गुणा, मूल संख्या देता है।
• उच्च ऑर्डर रूट:कोई भी जड़ जहां n > 3.

यहाँ एक nth रूट की गणना करने के लिए कदम हैं:

1. 1
   संख्या (x) और रूट ऑर्डर (n) की पहचान करें
2. 2
   जांचें कि गणना मान्य है (उदाहरण के लिए, नकारात्मक संख्याओं की जड़ भी नहीं)।
3. 3
   सूत्र लागू करें: x^(1/n)

उदाहरण के लिए, 27 के घनमूल की गणना करने के लिए: