LCM कैलकुलेटर - Least Common एकाधिक

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व्यापक गाइड

लेस्ट कॉमन मल्टीपल (LCM) को समझना

पूर्वोत्तर कॉमन मल्टीपल (LCM) संख्या सिद्धांत में एक मूलभूत अवधारणा है जो विभिन्न गणितीय कार्यों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह व्यापक गाइड एलसीएम, इसके गुणों, गणना के तरीकों और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों की गहराई की पड़ताल करता है।

परिभाषा और कोर अवधारणाओं

दो या दो से अधिक पूर्णांकों का पूर्वोत्तर आम एकाधिक (एलसीएम) सबसे छोटी सकारात्मक संख्या है जो किसी भी शेष को छोड़ने के बिना सभी दिए गए नंबरों से अलग है। संक्षेप में, यह सबसे छोटी संख्या है कि सभी दिए गए नंबर समान रूप से विभाजित हो सकते हैं।

प्रमुख गुण:

किसी भी संख्या के एलसीएम और स्वयं संख्या ही है: एलसीएम (ए, ए) = एक
किसी भी संख्या और 1 का एलसीएम संख्या है: एलसीएम (ए), 1) = a
किसी भी संख्या और 0 का एलसीएम 0 है: एलसीएम (a, एलसीएम) 0
एलसीएम हमेशा दिए गए सेट में सबसे बड़ी संख्या से अधिक या बराबर होता है।
किसी भी दो नंबर के लिए a और b: LCM(a, b) × GCD(a, b) = a × b

एलसीएम खोजने के लिए एकाधिक दृष्टिकोण

एलसीएम खोजने के लिए कई तरीके हैं, जिनमें से प्रत्येक संदर्भ और संख्याओं के आधार पर अपने स्वयं के फायदे हैं। नीचे सबसे आम दृष्टिकोण हैं:

1. प्राइम फैक्टराइजेशन विधि

यह एलसीएम खोजने के लिए सबसे कुशल तरीकों में से एक है। इसमें प्रत्येक नंबर को अपने प्रमुख कारकों में तोड़ना शामिल है, फिर एलसीएम की गणना के लिए इन कारकों का उपयोग करना।

प्रत्येक नंबर को प्राइम कारकों के उत्पाद के रूप में व्यक्त करें
प्रत्येक प्राइम फैक्टर को उच्चतम शक्ति में लें जो किसी भी संख्या में दिखाई देता है
इन प्रमुख कारकों को उनके संबंधित उच्चतम शक्तियों के साथ गुणा करना

उदाहरण के लिए, 12 और 18 के एलसीएम को खोजने के लिए:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
एलसीएम = 22 × 32 = 36

2. लिस्टिंग एकाधिक विधि

इस सरल विधि में प्रत्येक नंबर के गुणकों को सूचीबद्ध करना और सबसे छोटा सामान्य मूल्य की पहचान करना शामिल है।

उदाहरण के लिए, 4 और 6 के एलसीएम को खोजने के लिए:
4 के एकाधिक: 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
6 के एकाधिक: 6, 12, 18, 24,...
सबसे छोटा आम एकाधिक 12 है, इसलिए एलसीएम (4, 6) = 12

3. GCD (Greatest Common Divisor)

यह विधि दो संख्याओं के एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध का लाभ उठाती है:
LCM(a, b) = (a × b)

4. सीढ़ी या केक विधि

इस दृश्य दृष्टिकोण में प्राइम कारकों द्वारा संख्याओं को विभाजित करना शामिल है जब तक कि सभी संख्या 1 नहीं बन जाती है, फिर divisors को गुणा करना।

5. वेन आरेख का उपयोग करना

दो संख्याओं के लिए, दो ओवरलैपिंग सर्कल के साथ एक वेन आरेख बनाएं। उनके संबंधित क्षेत्रों में चौराहे और अद्वितीय प्रमुख कारकों में आम प्रमुख कारक रखें। एलसीएम दोनों हलकों में सभी कारकों का उत्पाद है।

उन्नत गुण और गणितीय संबंध

किसी भी तीन संख्या के लिए a, b, and c: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
एलसीएम समेकनात्मक है: एलसीएम (ए, एलसीएम (बी, सी) = एलसीएम (एलसीएम (ए, बी), सी)
एलसीएम कम्यूटेटिव है: एलसीएम (ए, बी) = एलसीएम (बी, ए)
यदि कोई लाभांश b, तो LCM(a, b) = b
Coprime संख्या (GCD = 1) के साथ संख्या, LCM(a, b) = a × b

गणित में अनुप्रयोग

एलसीएम एक शक्तिशाली उपकरण है जो विभिन्न गणितीय संचालन और वास्तविक दुनिया परिदृश्यों में दिखाई देता है:

भिन्नता:जब अलग-अलग डिनोमिनेटरों के साथ भिन्नों को जोड़ते या घटाते हैं, तो हमें समतुल्य भिन्न बनाने के लिए डिनोमिनेटरों के एलसीएम को ढूंढना होगा।
मॉड्यूलर अंकगणित:एलसीएम चीनी रेमाइंडर थोरेम के माध्यम से सहमति की प्रणाली को हल करने में मदद करता है।
संख्या सिद्धांत:एलसीएम पूर्णांकों और उनके संबंधों के गुणों का अध्ययन करने में आवश्यक है।
क्रिप्टोग्राफ़ी:कुछ एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम एलसीएम से संबंधित गुणों पर निर्भर करते हैं।

रियल वर्ल्ड एप्लीकेशन

एलसीएम में विभिन्न वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं:

शेड्यूलिंग कार्य:जब पुनरावर्ती घटनाओं का सामना करना पड़ता है (उदाहरण के लिए, जब एकाधिक ट्रेनें या बसें एक साथ स्टेशन पर पहुंच जाएंगी)।
विनिर्माण:उत्पादन चक्र का अनुकूलन जहां विभिन्न घटकों में उत्पादन समय भिन्न होता है।
कार्यक्रम की योजना:जब विभिन्न आवृत्तियों के साथ पुनरावृत्ति की घटनाओं की गणना उसी दिन होगी।
संसाधन आवंटन:संसाधनों का सबसे कुशल वितरण निर्धारित करना जिसे समान रूप से साझा करने की आवश्यकता है।

आम गलत धारणाएं और चुनौतियां

जीसीडी के साथ एलसीएम को भ्रमित करना:ग्रेटेस्ट कॉमन डिवाइजर (GCD) को सबसे बड़ी संख्या मिलती है जो सभी संख्याओं को विभाजित करती है, जबकि एलसीएम को सभी संख्याओं द्वारा विभाजित सबसे छोटी संख्या मिलती है।
उत्पाद की गणना एलसीएम है:दो संख्याओं का उत्पाद हमेशा उनके एलसीएम नहीं है। एलसीएम केवल तभी उत्पाद के बराबर होता है जब संख्याएँ कोप्राइम होती हैं।
बार-बार कारकों को भूल जाना:प्राइम फैक्टराइजेशन का उपयोग करके एलसीएम को ढूंढते समय, प्रत्येक प्राइम फैक्टर की उच्चतम शक्ति का उपयोग करना याद रखें, न केवल इसकी उपस्थिति।

निष्कर्ष

लोस्ट कॉमन मल्टीपल सिर्फ एक गणितीय अवधारणा से अधिक है जो स्कूलों में पढ़ाया जाता है; यह व्यापक अनुप्रयोगों के साथ एक शक्तिशाली उपकरण है। जटिल शेड्यूलिंग समस्याओं को हल करने के लिए हमें अंशों के साथ काम करने में मदद करने से, एलसीएम दर्शाता है कि कैसे बुनियादी गणितीय सिद्धांत सैद्धांतिक और व्यावहारिक चुनौतियों को हल करने में मदद कर सकते हैं। एलसीएम और इसके गुणों की गणना करने के लिए विभिन्न तरीकों को समझना हमें लचीलापन और दक्षता के साथ अलग-अलग समस्याओं का सामना करने की अनुमति देता है।

अवधारणा

एलसीएम सूत्र

दो या दो से अधिक संख्याओं का पूर्वोत्तर आम एकाधिक (एलसीएम) सबसे छोटा सकारात्मक पूर्णांक है जो सभी संख्याओं से अलग है।

सूत्र:

LCM(a,b) = |a × b | / GCD(a,b)

चरण

कैसे LCM की गणना करने के लिए

एलसीएम की गणना करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

1
प्रत्येक संख्या के प्रमुख कारकीकरण का पता लगाएं
2
प्रत्येक प्रमुख कारक की सर्वोच्च शक्ति लें
3
इन प्रमुख कारकों को एक साथ गुणा करें

उदाहरण के लिए, 12 और 18 के एलसीएम को खोजने के लिए:

उदाहरण गणना:

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
एलसीएम = 22 × 32 = 36

उदाहरण

एलसीएम - प्रैक्टिकल उदाहरण

उदाहरण 1आम समय अंतराल का पता लगाना

दो ट्रेन 12 और 18 मिनट के अंतराल पर एक स्टेशन छोड़ देते हैं। जब वे एक साथ फिर से चले जाते हैं?

एलसीएम(12, 18) = 36 मिनट

उदाहरण 2पैकेज का आकार

एक स्टोर 8, 12 और 16 के पैकेज में आइटम बेचता है। उन वस्तुओं की सबसे छोटी संख्या क्या है जिन्हें समान पैकेज में खरीदा जा सकता है?

एलसीएम(8, 12, 16) = 48 आइटम

उदाहरण 3पुनरावृत्ति कार्यक्रम

तीन घटनाएं हर 4, 6 और 8 दिन होती हैं। सभी तीन घटनाओं को उसी दिन कब होगा?

एलसीएम(4, 6, 8) = 24 दिन

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