ज्यामितीय मीन कैलकुलेटर
सकारात्मक संख्याओं के एक सेट के ज्यामितीय अर्थ की गणना करें।
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जियोमेट्रिक को समझना मतलब
ज्यामितीय अर्थ एक प्रकार का औसत है जो अपने योग के बजाय अपने उत्पाद का उपयोग करके संख्याओं के एक सेट की केंद्रीय प्रवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है। यह विशेष रूप से उन मानों के साथ डेटा सेटों के लिए उपयोगी है जो गुणन (जैसे विकास दर) के बजाय परिवर्तन करते हैं।
ज्यामितीय अर्थ क्या है?
ज्यामितीय अर्थ n संख्याओं के उत्पाद के nth रूट के रूप में परिभाषित किया गया है। अंकगणित अर्थ के विपरीत (जो गिनती द्वारा मान और विभाजित करता है), ज्यामितीय मतलब सभी मूल्यों को एक साथ गुणा करता है और फिर उचित जड़ लेता है।
ज्यामितीय अर्थ की प्रमुख गुण:
- यह हमेशा अंकगणित अर्थ से कम या बराबर होता है ( समानता तब होती है जब सभी मान समान होते हैं)
- यह केवल सकारात्मक संख्या के लिए परिभाषित किया गया है
- यह अंकगणित अर्थ की तुलना में चरम मानों से कम प्रभावित होता है
- यदि किसी डेटा सेट में प्रत्येक मान को ज्यामितीय अर्थ से बदल दिया जाता है, तो उनका उत्पाद अपरिवर्तित रहता है।
अंकगणित और ज्यामितीय अर्थ के बीच मतभेद
| पहलू | अंकगणित | ज्यामितीय अर्थ |
|---|---|---|
| सूत्र | (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n | (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) |
| संचालन | तब विभाजन | गुणन तब जड़ |
| सर्वश्रेष्ठ | रैखिक डेटा, पूर्ण परिवर्तन | आकस्मिक डेटा, विकास दर |
| उदाहरण | औसत टेस्ट स्कोर | औसत निवेश रिटर्न |
जियोमेट्रिक मीन के अनुप्रयोग
ज्यामितीय अर्थ का व्यापक रूप से विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है:
- वित्त:औसत निवेश रिटर्न और मिश्रित वार्षिक वृद्धि दर (सीएजीआर) की गणना
- जीवविज्ञान:जनसंख्या वृद्धि, बैक्टीरियल विकास दर और जैविक प्रक्रियाओं का विश्लेषण करना
- ज्यामिति:एक ही क्षेत्र के साथ एक वर्ग की ओर की लंबाई ज्ञात करना
- सांख्यिकी:अनुभवजन्य व्यवहार या आनुपातिक संबंधों के साथ डेटा सेट का विश्लेषण करना
- अर्थशास्त्र:औसत आर्थिक विकास दर और मूल्य सूचकांक को मापने
ज्यामिति में ज्यामितीय अर्थ
ज्यामिति में, ज्यामितीय अर्थ का विशेष महत्व है। एक दाहिने त्रिकोण के लिए, यदि किसी ऊंचाई को दाहिने कोण से hypotenuse तक खींचा जाता है, तो ऊंचाई की लंबाई hypotenuse के खंडों का ज्यामितीय मतलब है। यह ज्यामितीय अर्थ theorem के रूप में जाना जाता है।
अन्य अर्थों के साथ संबंध:
सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के किसी भी सेट के लिए, निम्नलिखित असमानता रखती है:
हार्मोनिक अर्थ ≤ ज्यामितीय अर्थ ≤ अंकगणित अर्थ
इस संबंध को AM-GM-HM असमानता के रूप में जाना जाता है, और समानता तब होती है जब सेट में सभी मान समान होते हैं।
AM-GM असमानता का गणितीय सबूत
AM-GM असमानता का कहना है कि गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के एक सेट का अंकगणितीय अर्थ उन संख्याओं के ज्यामितीय अर्थ से अधिक या बराबर है। यहाँ दो संख्याओं का प्रमाण है:
किसी भी दो सकारात्मक संख्या a और b के लिए:
(a - b)² ≥ 0
a² - 2ab + b² ≥ 0
a² + 2ab + b² ≥ 4ab
(a + b)² ≥ 4ab
a + b ≥2
(a + b)/2 ≥ √ab
यह साबित करता है कि अंकगणित का मतलब (a + b) / 2 ज्यामितीय अर्थ √ab की तुलना में या बराबर है, समानता के साथ अगर और सिर्फ अगर a = b.
वैकल्पिक गणना विधि
कई अंकों के साथ बड़े डेटासेट या संख्याओं के लिए, ज्यामितीय अर्थ की गणना सीधे बहुत बड़े उत्पादों के कारण कम्प्यूटेशनल चुनौतियों का कारण बन सकती है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण logarithms का उपयोग करता है:
- डेटासेट में प्रत्येक नंबर का logarithm लें
- इन logarithms के अंकगणित अर्थ की गणना
- इस अर्थ का एंटीलोगरिथम (exponentiation) लें
GM = exp(log(x1) + log(x2) +... + log(xn))/n)
भारित ज्यामितीय मतलब
भारित अंकगणित के समान, हम एक भारित ज्यामितीय अर्थ की गणना कर सकते हैं जब विभिन्न मूल्यों में महत्व के विभिन्न स्तर होते हैं:
भारित GM = (x1^ w1 × x2^ w2 ×... × xn^ wn)
कहाँ w1, w2,..., wn प्रत्येक मूल्य को सौंपे गए वजन हैं।
उन्नत अनुप्रयोग
वित्त और अर्थशास्त्र में
ज्यामितीय अर्थ निवेश के मिश्रित वार्षिक विकास दर (सीएजीआर) की गणना के लिए आवश्यक है:
CAGR = (अंतिम मूल्य / प्रारंभिक मान) ^(1/n) - 1
कहाँ n साल की संख्या है।
उदाहरण के लिए, यदि निवेश 1,000 डॉलर से $ 1,610 से अधिक 5 वर्ष तक बढ़ता है, तो CAGR है:
CAGR = (1610/1000)%
छवि प्रसंस्करण में
ज्यामितीय मतलब फिल्टर का उपयोग डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग में किया जाता है ताकि कुछ प्रकार के शोर को कम किया जा सके जबकि किनारे की विशेषताओं को संरक्षित किया जा सके, अंकगणितीय औसत फिल्टर के विपरीत जो किनारों को धुंधला कर देते हैं।
ध्वनिकी और ऑडियो इंजीनियरिंग में
ज्यामितीय अर्थ का उपयोग ऑडियो आवृत्ति बैंड की केंद्र आवृत्ति की गणना करने के लिए किया जाता है, विशेष रूप से समकक्षों और ऑडियो विश्लेषण उपकरणों में।
केंद्र आवृत्ति = √(f1 × f2)
जहां f1 और f2 निचले और ऊपरी आवृत्ति सीमाएं हैं।
डाटा साइंस में ज्यामितीय अर्थ
डेटा विज्ञान और मशीन लर्निंग में, ज्यामितीय अर्थ के लिए मूल्यवान है:
- सामान्यीकृत सटीकता मीट्रिक:एकाधिक वर्गीकरण मैट्रिक्स का संयोजन करते समय
- तरीकों को इकट्ठा करना:कई मॉडलों से पूर्वानुमान
- फ़ीचर स्केलिंग:गुणात्मक संबंधों के साथ सुविधाओं को सामान्य करना
- Anomaly का पता लगाने:गुणात्मक डेटा में बाहरी लोगों की पहचान करना
जब गणितीय अर्थ पर ज्यामितीय अर्थ का चयन करना है:
- जब प्रतिशत, अनुपात, या दरों से निपटने
- कई अवधियों में वृद्धि का विश्लेषण करते समय
- जब मूल्यों में मिश्रित लोगों के बजाय गुणात्मक संबंध होते हैं
- जब चरम मान एक अंकगणित अर्थ का प्रतीक हो सकता है
- जब औसत कारकों या गुणकों की गणना की जाती है
ज्यामितीय अर्थ सूत्र
ज्यामितीय अर्थ की गणना n संख्याओं के उत्पाद के nth रूट द्वारा की जाती है। यह विशेष रूप से परिवर्तन या विकास दर की औसत दरों की गणना के लिए उपयोगी है।
ज्यामितीय अर्थ की गणना कैसे करें
ज्यामितीय अर्थ की गणना करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:
-
1सभी संख्याओं को एक साथ गुणा करें
-
2गणना कितनी संख्या आपके डेटासेट में हैं
-
3उत्पाद की nth जड़ लें
उदाहरण के लिए, 2, 4, 8 के ज्यामितीय अर्थ को खोजने के लिए:
ज्यामितीय अर्थ - प्रैक्टिकल उदाहरण
उदाहरण 1निवेश रिटर्न
निवेश 10 तक बढ़ता है%, 20%, 15% तीन साल से अधिक। औसत वार्षिक वृद्धि दर क्या है?
ज्यामितीय अर्थ = (1.10 × 1.20 × 1.15) ^(1/3) = 1.1487 = 14.87%
उदाहरण 2जनसंख्या वृद्धि
एक जनसंख्या 1000 से 1500 तक 5 साल तक बढ़ जाती है। औसत वार्षिक वृद्धि दर क्या है?
वृद्धि दर = (1500/1000) ^(1/5) = 1.0845 = 8.45%
उदाहरण 3आयत आयाम
एक आयत में 4 और 9 के पक्ष हैं। एक ही क्षेत्र के साथ एक वर्ग की साइड लंबाई क्या है?
ज्यामितीय अर्थ = √(4 × 9) = √36 = 6